Par le point dont l'équation est
u = mv H- /i,
menons les deux tangentes à la conique. Les v de ces tangentes seront donnés par l'équation
mv 2 -+- nv — b z — o.
Pour que ces tangentes soient confondues, il faut que
/i 2 -h 4 mb* = o.
Telle est donc la relation qui doit être remplie pour que le point soit sur la courbe. L'équation de tout point de la conique sera donc de la forme
u = mv ± ib\/ ' — m,
et l'on sait que m est le rapport des distances à A et à B du pied de la parallèle aux axes de coordonnées, menée par le point considéré.
L'équation en v écrite plus haut montre que, si m est constant et n variable, le produit des racines est constant; or, m étant constant, on voit que le point se meut sur une parallèle aux axes de coordonnées. De là ce théorème :
C étant une conique, D une droite quelconque, on mène à C une tangente A parallèle à D, et dont le point de contact est A. Les tangentes à C, issues d'un point quelconque de D, déterminent sur A, à partir de A, deux segments dont le produit est constant.
Détermination des foyers.
35. Nous avons vu (n° 3) que l'angle d'une droite avec Taxe des origines est donné par
(v — u) sin0
tanga =
d -h (v — u)cosb' il s'ensuit, en posant tanga = m,
. . md
sino — m cosQ Soient alors donnés un point
(b) u-hpv -f- q — o, et une conique
(c) AM ! + 2B^ + Cv 2 + 2Dtt + 2Ep + F = o.
On aura les m des tangentes menées de ce point à
cette conique, en éliminant u et v entre les équations
(a), (&), (c),ce qui n'offre pas de difficulté. On trouve
ainsi
P, Q, R étant des polynômes du second degré en p et q.
Si le point représenté par l'équation (&) est un foyer, les m des tangentes issues de ce point ont pour valeurs
\j — i et — \j — i; par suite, l'équation précédente doit
être identique à
m 2 +i = o, ce qui exige que
Q = o et P = R.
On a ainsi deux équations du second degré en p et q qui font connaître les valeurs de ces paramètres, relatives aux foyers de la conique.
(33) V. — Exemples d'application des coordonnées
36. Une conique variable est constamment tangente à deux droites parallèles fixes et touche une conique fixe toujours au même point, trouver le lieu du point de rencontre des tangentes communes à ces deux coniques.
Prenons pour origine A le point de contact fixe des deux coniques, et pour axe AB la tangente en ce point, pour axe Au la droite menée par ce point parallèlement aux droites fixes données, et pour axe Bi> une parallèle quelconque à cette droite.
Equation de la conique fixe
(a) A w 2 -4- aBap-t- Cv 2 -\- 2D11 = o;
équation de la conique variable
où A', B', G sont constants, d'après le corollaire qui termine le n° 21, puisque la conique variable a toujours les mêmes tangentes parallèles aux axes.
Multiplions (a) par C, ((3) par C et retranchons } il vient
M [(AC — A'C)a-h»(BC'— B'G)p + 2(DC- D'C)] = o,
équation qui donne les pôles communs aux deux coniques.
u = o est leur point de contact fixe.
(ÀC— A'C)u -4- 2(BC- B'C)p -h a(DC— D'C) = o
est le point dont on cherche le lieu 5 or le rapport des
( ! ) Voir la Note I à la fin du Volume.
distances de ce point aux axes de coordonnées, égal à AC — AT ® tant indépendant du paramètre variable qui est D', ce point reste sur une droite parallèle aux axes de coordonnées : tel est donc le lieu cherché.
37. Nous allons montrer maintenant comment les coordonnées parallèles permettent de déduire corrélativement des théorèmes nouveaux de ceux qui sont établis au moyen des coordonnées cartésiennes ( * ); deux questions seront corrélatives lorsqu'elles reposeront sur les mêmes équations en x et y d'une part, en u et v de l'autre, et que ces équations seront soumises aux mêmes opérations; seules les interprétations géométriques différeront. En voici des exemples :
En coordonnées cartésiennes, on a :
Si une droite se déplace en restant parallèle à ellemême, elle coupe constamment une courbe fixe du m ième or dre en m points dont le centre des moyennes distances décrit une droite.
Or, à des droites parallèles, en coordonnées cartésiennes, correspondent, en coordonnées parallèles, des points situés sur une parallèle aux axes de coordonnées; au centre des moyennes distances, correspond la droite moyenne relative à la direction des axes de coordonnées; comme ces axes sont d'ailleurs quelconques, nous aurons, en coordonnées parallèles, le théorème suivant :
Si un point décrit une droite D, la droite moyenne, relative à la direction de D, des m tangentes que Von peut mener de ce point à une courbe fixe de la m ième classe, passe par un point fixe.
(') Nous reviendrons avec détail sur ce sujet dans les chapitres IX et X.
En coordonnées cartésiennes, on a encore ce théorème :
Le centre des moyennes distances des to(77ï — i) points de contact des tangentes à une courbe fixe d'ordre m, parallèles à une direction donnée^ est fixe lorsqu'on fiait varier la direction des tangentes.
Par transformation corrélative nous aurons, en coordonnées parallèles, le théorème suivant :
Une droite D se déplaçant parallèlement à ellemême coupe constamment une courbe fixe de la classe m en m[m — i) points; la droite moyenne, relative à la direction de D, des tangentes en tous ces points, est fixe.
COORDONNÉES AXIALES.
