Transformation des coordonnées

i° On change de pôle, en conservant le même axe. Dans ces conditions, 6 reste le même ; si X ( est la nouvelle valeur de la coordonnée linéaire et si a est la distance, prise avec son signe, du nouveau pôle à l'ancien, on a

2° On change d'axe, en conservant le même pôle. Si (o est l'angle du nouvel axe avec l'ancien, on a

(a) 0=Q,-i-ci>

et

X sinô = Xj sinQi; d'où

X t sinOj

sin(6! -h o>)

3° On transporte l'axe parallèlement à lui-même, le pôle restant sur une perpendiculaire à la direction de cet axe. Alors, 9 reste le même, et Ton a

(3) X = X t — Acotô,

h étant la distance du nouvel axe à l'ancien.

Toute transformation peut, par décomposition, se ramener aux trois précédentes.

4-0. Passage aux coordonnées parallèles. — Prenons pour origines des coordonnées parallèles deux points de l'axe Ox équidistants du pôle O et pour axes des u et des v les perpendiculaires élevées par ces points à la droite Ox. Nous aurons, en appelant 8 la distance commune des nouvelles origines au point O,

tansrO =

28 il

Pour passer des coordonnées axiales aux coordonnées parallèles, les formules seront donc

tangO

au

Pour le passage inverse,

( w = (3 — X)tang6, j ç = — (S-t-X)tangO.

41. Relation avec les coordonnées ordinaires. — Etant donnée l'équation en x et y d'une courbe, on formera très simplement l'équation en \ et 6 de cette courbe rapportée à l'ancien axe des x pris pour axe des \ et à l'ancienne origine prise pour pôle, en prenant l'équation de la tangente à la courbe en fonction de son coefficient angulaire m 9 et remplaçant dans cette équation y par zéro, x par \ et m par tangO.

42. Equations de courbes usuelles. — Ces équations se déduisent des équations correspondantes en x et y parle procédé qui vient d'être indiqué; les deux premières sont très aisées à obtenir directement.

Point,

X = a— b cotO,

a et b étant les coordonnées rectangulaires de ce point. Cercle,

(X — a) sinô -+- b cosô — R = o,

a et b étant les coordonnées rectangulaires du centre et R le rayon. Si le cercle est tangent à Ox 9 c'est-à-dire si b = R, l'équation peut s'écrire

À = a -+- R taog - •

Ellipse rapportée à son axe focal et à son centre,

X» = a*-h6»cot*8,

a et b étant les demi-axes de la courbe.

Hyperbole,

X» = a« — ô*cot*6.

Parabole rapportée à son axe et à son sommet,