X -f-£cot*ô = o

/> étant le paramètre de la courbe.

43. Equation générale des coniques. — Prenons l'équation générale des coniques en coordonnées parallèles

et opérons la transformation indiquée au n° 40; il vient pour l'équation en X et 6 correspondante

[(A-4-aB-4-C)X*

a(G — A)8X -h ( A — aB -4- C)8*] tang*0

— a[(D ■+■ E)X — (D - E)8] tangB -+- F = o.

Posons

c = (A — 2B-hC)o«, /=F.

L'équation devient

(<zX*H- 26X -+■ c) tang 2 8 -+- (2</X -h ie) tangÔ -+-/ = o.

Ainsi donc, étant donnée une conique, on obtient, pour son équation en \ et 8, une expression, égalée à o, qui contient un terme en tang 2 9 dont le coefficient est un trinôme du deuxième degré en \ un terme en tangQ dont le coefficient est un binôme du premier degré en \ et un terme constant.

Réciproquement, toute équation de cette forme représente une conique, car les six équations précédentes permettent, lorsqu'on se donne arbitrairement 8, de déterminer A, B, C, D, E, F, en fonction de a, b , c, d, e,/*. On trouve

Remarquons que, sia = A-+-2B-+-C = o, la courbe est une parabole.

Pour reconnaître la nature de la courbe, formons (n° 25) la quantité

jjl = ( A -+- aB h- C)[AE* — 2BDE -t- CD* ■+■ F(B* — AC)] ;

on trouve

H = — gj [ae 2 — 2bde -h cd* +j (6 2 — ac)].

On peut toujours faire en sorte que a soit ]>o; il suffit donc de considérer le signe de

A = ae 2 — ibde -4- cd*-\-f( b* — ac ) ;

c'est le discriminant de la forme obtenue en remplaçant, dans l'équation axiale de la conique, XtangO para: et tangÔ par j', et Ton a

A > o hyperbole, A < o ellipse.

Si A = o, on a un système de deux points.

Pour déterminer le centre, les axes, etc., il suffit de prendre les équations trouvées en coordonnées parallèles, et d'y remplacer u et v par leurs valeurs en fonction de X et 6, et les coefficients A, B, par leurs valeurs en fonction de a, &, ....