COS
propriété que nous pouvons énoncer ainsi : le segment
de l'axe Ox compris entre la tangente et la normale
est égal au \ de la tangente.
De ce que AK = OT = TN, résulte l'égalité des
triangles OAK et IJNT, IT étant perpendiculaire à Ox;
par suite,
IN == OA = a,
c'est-à-dire que la portion delà normale comprise entre V axe Ox et la perpendiculaire à cet axe menée par le point T est constante et égale à a.
Remarquons aussi que IT = OK.
Par le point T, élevons à MT une perpendiculaire qui coupe Taxe Oj au point U; puisque OT = TN, les triangles OTU et TJNI sont égaux, et par suite
TU = NI = a;
le segment TU est de longueur constante; de là ce théorème :
Si l'un des côtés d'un angle droit est de longueur constante et glisse entre deux axes rectangulaires, l'autre côté enveloppe la courbe qui nous occupe. Cela fournit un mode de génération mécanique de cette courbe, par ses tangentes.
( 5o ) Le rayon de courbure, d'après la formule (6), est donné par
r = ia cos*6 — a sin 2 6 = — i cosaO,
expression qui se construit géométriquement de la manière suivante : prendre sur Ox le segment Cy = 3 CH ; le rayon de courbure au point M est égal à Oy, car
KCA = 2KOA = 26.
Valeurs remarquables du rayon de courbure :
Au point O, /* = ia.
Aux points pour lesquels cosaQ = £ et qui s'obtiennent en prenant pour la longueur CH le \ de CA, r = a.
Aux points pour lesquels 8 = - H- K - > /•==-•
Aux points A et A', /• = — a.
Il y a quatre points de rebroussement R, R', R' 7 , R" 7 correspondants aux valeurs de 8 pour lesquelles /• s'annule, c'est-à-dire pour lesquelles cosaÔ= — ^. Pour
obtenir ces points, prenons le segment CF égal à -5- et
compté négativement à partir du point C, puis élevons par le point F la perpendiculaire EE' à Ox-, prenant OS = AE, menant par le point S des parallèles à OE et OE', et portant sur ces droites les segments SR et SR ; égaux à EF, nous avons les points de rebroussement R et R'. Les autres sont les symétriques de ceux-ci par rapport à Oj", car la portion de la courbe, à gauche de Oy, répondant aux valeurs de comprises entre tz et ait, est symétrique de la portion à droite qui correspond aux valeurs comprises entre O et 7t. D'ailleurs, chacune de ces branches se compose elle-même de deux parties symétriques par rapport à Ox.
La courbe est ainsi parfaitement connue de forme } il reste à en trouver la rectification et la quadrature.
La longueur de Tare, comptée à partir du point O, est donnée par
J/* /" / n "\ rt \ /rft *K ri
\ rd§= j ( — l cos2Ô)dô= i — -sinaO.
o Jo \ a • * / » 4
Traçons le cercle de centre C, dont le rayon CA 4 est
moitié de CA, c'est-à-dire égal à -; ce cercle est coupé
par CK au point K| ; abaissons sur O x la perpendiculaire
K| H 4 ; nous avons
. a tt «6
arc A 1 K 1 = T 26 = — > 4 ^
KjH! = - sin2Ô;
donc
arc OM = arc AjKj H- 3K t Hi.
Pour l'aire comprise entre la courbe, Taxe 0,r, et la tangente MT, elle est donnée, d'après la formule (8),
paF fi
d = - I (acosô sinô)* dti
fi
