MC = *MI
on reconnaît bien là une des propriétés caractéristiques de la cycloïde.
La formule (y) donne, pour Tare compté à partir du point O,
s = %l I cosB^e = '2/jinô = 2MT = aBK.
L'arc OR a donc pour longueur i L
Quant à Taire OMT, elle est donnée, d'après la for-
mule (8), par
ij 2 \ 2 4 /
Mais nous avons
/* 6 aire secteur OA B = — ,
aire triangle OBK = - / cos 6 . / sin = — ;
par suite,
• ^m/rrr aireA BK aire OMT = - •
On peut aussi prendre le demi-cercle A^A'A', de ravon égal à — > et qui est coupé par OB au point B';
on a
aire OMT = aire A' B'K'.
Il résulte de là que
aire ORR, = ™^<>BAO = aire a , qWA ,
50. Trouver une courbe telle que la distance OD de chacune de ses tangentes au point O soit égale à la longueur MJN de la normale correspondante comprise entre la courbe et Vaxe Ox (Jîg> 1 1 ). — La distance OD du point O à la tangente Çk, 0) est égale à *k sin 9.
Quant à la normale, elle est donnée par
«6 cos 6 On doit donc avoir ( * )
. . A dk sin*ô do cosQ
(')' Il est important dç remarquer que nous supposons ici les segments OD et MN de part et d'autre de la tangente; dans le cas contraire, il faudrait changer le signe du second membre, et l'on trouverait pour solutions une parallèle à Ox et un cercle de centre O.
OU
/ tans 1 !
Intégrons, il \icnl
ou
LÀ = LsioG — C
à = asinQ.
Telle est l'équation de la courbe cherchée; étudions eu
Fig. ii.
détail ses propriétés géométriques qui, on Ta le voir, sont assez curieuses.
D'abord la longueur de la tangente est donnée, d'après la formule ( 5 ), par
t = acosO sinG.
Cette équation, jointe à la précédente, montre que la courbe peut se construire point par point de la manière suivante : portons sur Taxe Ox la longueur OA = a, et traçons le cercle, de centre C, qui a OA pour diamètre ; tirons la droite OK faisant avec Ox l'angle 8 et joignons le point A au point K; nous avons
AK = OAsin6 = asin6 = X;
abaissons maintenant sur Ox la perpendiculaire KH ;
nous avons
KH = AKcosô = asinô cosô = t;
de là, la construction suivante : porter sur Ox la longueur OT = AK, puis sur la parallèle à OK, menée par le point T, la longueur TM = HK\ on a ainsi la tangente MT et son point de contact M.
MN étant la normale, remarquons que
TM TN= -\ = asinô = OT,
