Nous représenterons les points par des lettres

majuscules, les droites par des minuscules. On point

sera parfois désigné par les noms de deux droites s'y

coupant, et une droite par les noms de deux de ses points.

, , ( d'un point )

La lettre représentative { ,, , . >, mise entre

1 ( d une droite )

, , . , . , , ( engendrée )

parenthèses, désignera la courbe l , , } par

A ° | enveloppée ) L

ce point cette droite

(') Cette méthode appartient à la famille des transformations gauches réciproques du i er degré.

( 53 ) Une courbe pourra être aussi considérée îndépendam-

( du point ) . ( l'engendre ) „ ,

ment l , , r , . f qui J ., ° , >; elle sera alors

( de la droite ) x (1 enveloppe )

représentée par une lettre spéciale.

Les deux systèmes que nous allons comparer sont ainsi constitués :

Le système de coordonnées rectangulaires comprend un point origine O par où passent deux axes coordonnés rectangulaires x et y. Les x se comptent sur l'axe .r, à partir de point O, les y sur Taxej^, à partir du point O.

Le système de coordonnées parallèles comprend un axe origine o sur lequel sont les points coordonnés X et Y.

Les u se comptent sur la perpendiculaire à l'axe o menée par le point Y, et à partir de ce point, les v sur la perpendiculaire à l'axe o menée par le point X, et à partir de ce point ( i ).

On a ainsi :

Coordonnées du point O

Equation de Taxe x

Equation de l'axe y

Coordonnées de Taxe o

Équation du point X

Equation du point Y

au point A défini par-r/et^ correspondra la droite a pour laquelle u { = x t et v K = J\ .

( * ) II semble naturel, au premier abord, d'accoupler, d'après l'ordre alphabétique, la lettre u avec la lettre X et la lettre v avec la lettre Y; mais, pour que le point coordonné X soit corrélatif de l'axe coordonné x, il faut que son équation soit corrélative de celle de cet axe, qui est y = o; l'équation du point X doit donc être t> = o, c'est-àdire que les t> doivent se compter à partir de X, et, par suite, les u à partir de Y.

Droite divisant le système de deux autres dans un rapport donné.

53. Si, sur la droite qui joint deux points donnés A et B, nous prenons un point P, tel que j^ = A: (le paramètre k portant son signe), nous disons que le point P divise le segment AB dans le rapport À, et si (j?<>J'i) (x 2 ,jk 2 ) sont les coordonnées rectangulaires des points A et B, les coordonnées rectangulaires du point P seront

Prenons maintenant deux droites a(i*i,Pi) et b(u 2 , p 2 ), rapportées à notre système de coordonnées parallèles, et coupons-les par une parallèle aux droites Yk et X^; soient A le point où cette droite coupe a, B le point où elle coupe b ; prenons le point P qui divise le segment AB dans le rapport À~; lorsque l'on fera varier la droite AB, en la laissant parallèle à Y«, le point P engendrera une droite p qui passera par le point de concours des droites a et b et dont les coordonnées seront

précisément

m, — kut ç t — kv*

Aussi, par analogie avec ce qui précède, dirons -nous que la droite p divise le système (ab) dans le rapport

A: et exprimerons-nous ce fait par l'égalité U-r ) = À~.

Dès lors, nous voyons que si le point P divise le segment AB dans le rapport /t, la droite p corrélative de P divise le système (ab) corrélatif de AB dans le même rapport.

Ce principe renferme toute la transformation des propriétés segmentaires.

En particulier si k = — i, le point P est le milieu du segment AB ou le point moyen des points A et B, et de même, la droite p sera dite médiane du système (ab) ou droite moyenne des droites a et b.

Points parallèles.

54. Prenons maintenant, en coordonnées rectangulaires, la droite a dont l'équation est

y = mx -\- n.

Le coefficient m, égal à la tangente de l'angle que fait la droite a avec l'axe .r, définit la direction de cette droite, c'est-à-dire que toutes les droites qui correspondent à une même valeur de M concourent en un même point de la droite à l'infini du plan} ces droites sont dites parallèles.

Soit alors A le point corrélatif, dont l'équation en coordonnées parallèles est

v = mu-\- n.

D'après ce que nous avons vu en traitant de l'équation du point (n° 11), si nous menons par le point A une parallèle à Xt>, qui coupe l'axe o au point A', nous

avons

par suite, tous les points qui correspondent à une même valeur de m sont distribués sur une même parallèle aux droites Yu et Xt> ; nous dirons par analogie que ces points sont en relation de parallélisme ou plus simplement parallèles ( * ).

( ! ) Cette définition et celles qui suivent n'ont d'autre objet que d'abréger le langage dans le cours du présent travail.

( 56) Si donc on veut déterminer sur une droite donnée le point parallèle d'un point donné, on prendra l'intersection delà droite et de la parallèle à Xc menée par le point.

Module angulaire d 'un point.

55. 11 ne suffisait pas, pour pouvoir transformer les propriétés angulaires des systèmes de droites, de voir (ce qui d'aillleurs ne présentait pas la moindre difficulté) quelle était, en coordonnées parallèles, la relation entre les points équivalente au parallélisme entre les droites; il fallait encore reconnaître quel élément commun à deux points répondait à l'angle de deux droites, afin de pouvoir étendre aux systèmes de points les relations d'angles établies pour les systèmes de droites ; cette dernière recherche présente au premier abord quelque difficulté; mais nous croyons qu'elle devient des plus aisées par l'introduction de l'élément que nous appelons le module angulaire d'un point.