Voici comment nous définissons cet élément (fig- ia
Viç. 12.
Étant donné le point A dont l'équation est
s? = mu -+- n ,
( 5 7 ) prenons le point parallèle A' situé sur l'axe o ; nous avons
Par le milieu Z de XY menons une parallèle à Y u et X*> et prenons sur cette droite la longueur
XY Zi = ZX=— :
l'égalité précédente peut s'écrire
A'Z- XZ A'Z — Zû Z12 l tangA'QZ — i
rn — - — — _______ — ~ » •
A'Z + ZY "" A'Z-hZU ~~ A'Z ~ tangA'liZ + i'
"Zû + I
mais, tang-- étant égal «V i, on peut aussi bien écrire
tangA'QZ — lang-
ui =
l = tan g (A'QZ-!);
i -H tang A' JZ tang-
or, Zû étant égala ZX, l'angle XûZ est égal à -; par
suite
m = tangA'QX.
Cet angle A'QX, qui est le même pour tous les points de la droite A A', c'est-à-dire pour tous les points parallèles à A, sera dit module angulaire de ces points.
Le point Q, qui est invariable, recevra le nom du pôle du système de coordonnées parallèles considéré, et la droite ÛX, également fixe, celui à! axe polaire de ce système.
De ces définitions résulte la règle suivante : pour avoir le module angulaire d'un point donné A, il faut prendre, sur l'axe o, le point parallèle A', et le joindre au pôle Ù } l'angle que la droite QA' fait avec Vaxe polaire QX est précisément le module angulaire cherché.
On voit, en outre, que le module angulaire d'un point est égal à l'angle que fait avec Taxe x la droite corrélative, en coordonnées rectangulaires.
Angle de deux points.
57. Soient A et A t (Jig. 12) deux points dont les équations respectives sont
v = mu -+- n
et
ç = m i u->r ri\.
Prenons sur Taxe o les points A' et A' t , parallèles aux deux premiers. L'angle A f QA\ est égal à la différence des modules angulaires des deux points, et nous
avons
tangA'QA'^
1 •+- rhnti
Nous appellerons cet angle A'Q A', angle des points A et A t .
Pour tous les points situés sur une même parallèle aux axes Xc et Ym, cet angle est nul. Il est le même pour deux points quelconques pris respectivement sur deux parallèles fixes aux axes Xt> et Y u.
Si nous prenons maintenant en coordonnées rectangulaires, les droites dont les équations sont
y = mx -+- n, y = m x x ->r ni,
l'angle de ces deux droites nous est donné par
Tït\ — m
tangV =
mmi
Nous voyons donc que l'angle de deux points, en coordonnées parallèles, est égal à l'angle des deux droites corrélatives en coordonnées rectangulaires.
58. Ce théorème nous permettra de transformer les théorèmes, établis en coordonnées rectangulaires, où entrent des relations d'angles. Nous le compléterons par la remarque suivante :
Si les points A et A { , se déplacent d'une manière quelconque dans le plan, mais en conservant un angle constant, les points A r et A\ marquent sur l'axe o des divisions h omographiq u es .
En effet, étant l'angle constant des points A et A,, on a
za; za'
L>Z liZ
tang0= — ZÏ^TZA"
I+ Lz»
ou, en représentant le segment de longueur constante QZ par 8, *
za' x za; 2-x a' a; + ^ = 0,
1 tangB 1
ce qui démontre le théorème. De plus, le terme constant 8 2 étant indépendant de l'angle 9, on voit que les points doubles des divisions homographiques, correspondant aux diverses valeurs de 8, sont fixes; ces points sont d'ailleurs imaginaires.
59. Supposons que les points A et A< se déplacent r sur une droite, la propriété homograpliique étant pro-
jective, ces points détermineront également sur cette droite deux divisions homographiques. D'ailleurs les droites corrélatives de ces points passeront par un point fixe; on peut donc énoncer le théorème suivant :
Si, en coordonnées rectangulaires, on a deux systèmes de droites a, b, c, . . . , a^ ij, Cj, . . . , issues d'un même point P, et telles que les droites correspon-
dantes a et a x , b et b u cet c t , . . . , fassent un angle constant, on aura corrélativement, en coordonnées parallèles, deux divisions A, B, C, . . . , A i9 B t , Ci, • • . , situées sur une même droite p et qui seront en homographie.
On peut encore dire :
Si un angle constant de côtés a et b tourne autour de son sommet P, les points corrélatifs A et B des droites a et b marquent sur la droite p corrélative du point P deux divisions homo graphiques.
De tout ce qui précède résulte un moyen de transformer les propriétés angulaires relatives à un système de droites quelconques situées dans un plan, et d'en déduire des propriétés homographiques lorsque ces droites passent par un même point.
Poin ts perpendiculaires . ■
60. Si nous supposons que l'angle de deux points, défini comme il vient d'être fait, soit droit, nous dirons que ces points sont en relation de perpendiculari té ou plus simplement perpendiculaires.
Remarquons que ce genre de relation entre deux points dépend essentiellement du choix des axes de coordonnées. »
Soient A et A< deux points perpendiculaires quelconques, A' et A\ les points parallèles aux premiers, qui sont situés sur Taxe o; la relation homographique, établie plus haut, qui lie les points A' et A' n devient
dans ce cas
za' x za; h- o* = o,
c'est-à-dire que ces points sont en involution.
Le point Z est le point central de cette involution.
61. Pour trouver sur une droite d le point perpendiculaire à un point donné A, voici comment on procédera : prendre sur Taxe o le point A' parallèle à A, et, dans l'involution qui vient d'être définie, le conjugué B' de A', prendre enfin sur la droite d le point B parallèle à B', en tirant BB' parallèlemen t à Xt> et Yu\ le point B sera le point cherché.
Pour déduire, dans cette construction, le point B' du point A', il suffit de joindre le point A' au pôle Û du système, et de mener par le point Q une perpendiculaire OB' àû A' jusqu'à sa rencontre B 7 avec l'axe o.
62. Comme précédemment, on voit que si un angle droit de côtés a et h tourne autour de son sommet P, les points A et B, corrélatifs des droites a et b } marquent sur la droite p, corrélative du point P, deux divisions en involution.
Remarques sur la transformation des coniques.
63. Si, dans l'équation en coordonnées rectangulaires d'une conique T, on remplace x et y par u et t>, on obtient l'équation de la conique corrélative 1^, en coordonnées parallèles.
A chaque point de la conique Y correspond naturellement une tangente de la conique T A et réciproquement. Si sur une tangente à la conique F, on prend le point perpendiculaire au point de contact, on a l'élément corrélatif de la normale à la conique T; aussi ce point sera-t-il dit point normal.
Aux asymptotes de Y correspondent dans Y t les points de contact des tangentes parallèles à Xv et Ym; nous appellerons ces points les points asymptotes.
Aux foyers de Y correspondent pour Y t deux droites, dépendant, bien entendu, du choix des axes, et telles
(tiu )
que leurs points d'intersection (imaginaires) avec cette conique sont respectivement parallèles aux points qui divisent le segment XY dans les rapports
y 7 — 1 el — ^ — I.
Nous appellerons ces droites les droites focales.
Soit d une droite qui coupe la conique T aux points A et B; du point D corrélatif de d, partiront deux droites a et b, corrélatives de À et B, et qui seront tangentes à la conique T, ; lorsque la droite d se déplacera parallèlement à elle-même, le point D se déplacera sur une parallèle à Y m, et comme le milieu du segment AB décrira une droite d! , la droite moyenne du système (ab) passera par un point fixe D'.
Le point D', ainsi obtenu corrélativement du diamètre d\ sera dit point diamétral.
Tous les diamètres d 1 passant parle centre de T, tous les points diamétraux D 7 seront sur une même droite, dite droite centrale, dont les coordonnées seront données par le système d'équations F^ = o, F^ = o.
A deux diamètres conjugués de Y correspondent deux points diamétraux conjugués de IV Les deux points diamétraux de T,, qui sont entre eux à angle droit, sont corrélatifs des axes de T, et recevront pour cette raison le nom de points axiaux.
64. Nous nous arrêterons là de ces analogies ; on voit qu'il est très aisé, étant donné un élément quelconque de la conique T, de trouver l'élément corrélatif de la conique IV
65. Disons un mot maintenant des coniques représentées, en coordonnées parallèles, par certaines équations simplifiées de coniques en coordonnées rectangulaires, après remplacement de x et y par u et u.
66. Prenons l'équation corrélative de celle du cercle en coordonnées rectangulaires
elle représente une hyperbole (Jîg. i3) dont le centre O est à la rencontre de la droite équidistante de Y m et Xv>,
Fig. i3.
et de la droite X' Y' dont les coordonnées sont u= a, v = b : cette droite X'Y' est la droite centrale de l'hyperbole. Portant sur les axes de coordonnées, de part et d'autre deX'Y', les segments
on détermine les asymptotes AC et BD ; les droites AB et CD sont tangentes à l'hyperbole ; si cette courbe coupe les axes aux points M, N, P, Q, on a
les tangentes en M et en Q passent par le point X', les tangentes en N et en P par le point Y'.
Nous désignerons, en raison de leur équation, les hyperboles ainsi placées par rapport aux axes, sous le
( «< ) nom d'hyperboles corrélatives de cercles, et nous pourrons dire d'une manière générale qu'ime hyperbole corrélative de cercle est une hyperbole telle que les axes Y u et X v soient tangentes à son hyperbole complémentaire.
De môme que trois conditions suffisent à déterminer un cercle, trois conditions suffisent à déterminer une hyperbole corrélative de cercle. En particulier, il n'existe qu'une hyperbole corrélative de cercle inscrite à un triangle.
