tanga tanga
on trouve
(a) tangV - d% ^ ^ f __ u ,^ ç __ u ^ d[(s>' — u')-h (i> — u)\ cosO
(6) La condition de parallélisme de deux droites est doue
ce qui était évident a priori, et la condition de perpendicularité,
(4) «i*-t-(ç>'-- u')(v — u) + d[(v'— u') + (v — m)]cosÔ = o; si l'angle 8 est droit, cette dernière condition se réduit à
(4') rfï-4-((/- U ')(V- W) = 0.
5. Droite moyenne. — Etant données des droites (1*1, v K ), (u 2 i> 2 ) > • • • 9 (u m -i v m ) en nombre quelconque /», nous appellerons droite moyenne de ces m droites celle dont les coordonnées sont
et •
On voit que cette droite (D) est telle que, si une sécante parallèle aux axes la coupe au point D et coupe les droites données aux points D<, D 2 , . . . , D m , le point D est le centre des moyennes distances des points Dj , D 2 , . . . , D TO . Nous exprimerons ce fait en disant que la droite (D) est moyenne des droites données par rapport à la direction de cette sécante.
Transformation des coordonnées.
6. Changement de l'axe des origines. — On prend pour nouvel axe des origines une droite A t B< , déterminée par ses coordonnées AA< = a et BB< = b. Les formules de transformation sont, dans ce cas,
(5) u = iii~\- a,
U et v étant les coordonnées d'une droite rapportée aux
(7 ) origines A, B, et ii 4 et y « les coordonnées de la même droite rapportée aux origines A« et B 4 .
7. Changement des axes de coordonnées parallèlement à eux-mêmes, en conservant le même axe des origines. — Soient Au et Bp les auciens axes, A, u t et B 1 ^ 1 les nouveaux (fig. 3).
Appelons a la distance de Au et A<u,, comptée parallèlement à AB et (3 la distance de Bv et B< v K . La similitude des triangles MM, Q, NN« R et M, N, P< donne
Uj — U V t — V Vi — U\
~ ~~ ~~]T~ ~ rf-f-p — a' d'où Ton tire (6) u=( d+J)u t - aVt
et
8. Changement des axes de coordonnées dans une direction quelconque , en conservant les mêmes origines. — Soient Au et B pies anciens axes, etAu« etBt> 4 les nouveaux [ûg. 4)- On a, dans les triangles AMM 4
et BNN„
u v sin(8 1 — a) sin8! -cosôitanga Ui ~ v x ~~ sin(8 — a) ~~ sinô — cos6 tang a ' or
fon<tw (pi— Mi)sine!
tans a = -= ; ^- ;
° rf-+-(^t — u 1 )cosOi
on en déduit, après réduction,
uy v t rfsinÔ — (i>! — ai)sin(6 1 — 6) Gette substitution, faite dans une équation algébrique
Fig. 4.
F ( u, f ) = o, n'altère pas le degré de cette équation, non plus que les deux premières substitutions, ce qui devait avoir lieu.
9. Transformation générale. — Toute transformation peut se décomposer en plusieurs autres qui rentrent dans les cas précédents.
Soit, par exemple, à passer d'un système ( Au, B*>) à un autre ( A t u l9 B< v { ) qui lui est parallèle.
Appelons A 2 et B 2 les points où la droite & { B t coupe respectivement Au et Bf. Nous passerons du système (Au, B*>) au système (A 2 u, B 2 y) par la première transformation, puis du système (A 2 u, B 2 *>) au système (AiU 4 , BiV t ) par la deuxième.
Soit maintenant à passer du système (A a, Bç>) à un système ( A< M n b t v K ) quelconque.
Appelons A 2 le point de rencontre de Au et A< m,, B 2 le point de rencontre de B^ et B| f 4 . Nous passerons du système (Am, By) au système (A 2 m, B 2 *>) par la première transformation, puis du système (A 2 it, B 2 f) au système (A 2 zi,, B 2 ^ 1 ) par la troisième, et enfin du système (A-jii!, B 2 *><) au système (A t u^ B 4 ^) par la première.
