STŒLTJES A HERMITE

Cher MoKSiEiiii,

, Hier soir, en réfléchissant encore sur vos formules, j'ai trouvé l'explication de l'approximation

r(» + .)-iM«)-j + 5 + 5 + S+-'--

En cffeL, en supposanl a; ^ o, j'obtiens la formule

(36t"+i)"i~ <6il!>H-.)"î^ '

1 sorLe qu'on a en première approximation

5/(i>)+/(0+/(3)+---= jy/^(.+ 2e"V+3r^ + ---).

Veuillez bien excuser la précipitation avec laquelle j'écris ceci, Je voudi-ais vous vépondre avant mon départ pour Aucli et, demain, je suis pris aussi par une affaire.

Dès que je le pourrai faire, je reprendrai le calcul de R (ic) — 1' (;t: -h ■) avci.' plus de soin pour a; = i, 3, 3,

Le cosinus, dans ceUe formule, explique bien les variations tic signe qui se montraient en considérant f!-(^) — r(a; + i). J'obtiens cette formule à l'aide d'un résultat dû à Dirichlet

A„= - I f{l) cosntdl, il n'y a qu'à prendre

■(^■!-i)cop[(^-^,)arctaLig(^

Après quelques réductions, vous trouverez le résultat que je viens d'écrire. Voilà un résultat qui vous fera plaisir peut-être et qui me dispense des calculs à faire.

J'ai voulu vous communiquer ceci encore. Comme chez vous, ma première impression a été que l'approximation entre K{.ï') et r{2: -(- 1) ne commencerait à se montrer que pour de gi'andes valeurs de x, ensuite que le calcul numérique serait très fastidieux. Heureusement, je ne me suis pas contenté de cette première impression.

Votre bien dévoué.

■ HERMITE A STIELTJES.

Mon chuh ami,

Je désire que vous trouviez, au retour de votre voyage à Auch, l'expression de l'élonnement infini que vos calculs m'ont causé, de la joie que j'ai eue el aussi de mon humiliation profonde d'avoir accordé si peu de confiance à la valeur asymptotique de R(;t:). C'est dans un article du Journal de Borchardt, tome 90, page 33 1 , que vous trouverez l'origine de cette fonction, qui est définie ainsi :

yGoosle

376 CORRESPONDANCE d'hERUITE ET DE BTIELTJES.

par conséquent, comme vous le faites dans le cas de « = i , et qui donne l'égalité

-jy-

J'ai eu le tort de n'avoir point vu fit de n'avoir pas dit que celte relation a lien pour a=i; voici ce qui m'a arrêté bien inutilement. Ayant fait

J''i—,-U'f^'^j'""''i'-'e-tJ^ (» = ,,,, 3,...),

en posant dans le second membre ^ = na -\- (^, j'ai eu crainte que, dans le cas de a^=i, pour le premier terme correspondant à n^i, où entre l'intégrale

il n'ait pas été permis d'employer, sous le signe d'intégration, le développement de la puissance (i + Ç)^"', parce que développement, à la limite %=^i, est divergent quand a: —~ i est négatif. Mais ma crainte n'avait pas de fondement, car le développement en question conduit à la valeur suivante :

-h, ,.2.(7» + *) ■■■■ Or le second membre est une série toujours convergente; remplacez, en efîet, P{n) par la quantité plus grande — et envisagez la

nouvelle série, doiiL le terme général est

et la règle de Gauss montre immédiatement la convergence de la série IiU„.

Il est donc parfaitement permis de supposer «=i; mais, l'expression ainsi obtenue

ne m'apprend rien sur la différence Q{^) — ^{s — i).

Vous seul, cher ami, par la puissance du calcul numérique, vous avez eu l'intuition du mode d'existence de cette quantité; également, je vous fais mon compliment d'avoir rattaché la question à la comparaison entre l'intégrale

J''fiu)da et la somme

mais que d'efforts à faire avant d'atteindre ce but. Mes sentiments affectueux et bien dévoués. M. Bourguet, professeur à l'Institut catholique, demeure rue de