HERMITE A STIELTJES

Paris, i4 novembre 1888.

Mon chek amt,

La circonslance que vous avez évé priivenu par M. Lerch, cl que vos résultats se trouvent dans son Mémoire sur la fonction R(w, X, s), ne peut en quoi que ce soit changer mon sentiment sur le mérite de vos dernières recherches. Je viens vous demander instamment de publier dans le Journal de M, Jordan l'article que vous m'avez adressé, étant assuré qu'il sera lu sous la forme que vous lui avez donnée avec le plus grand intérêt. En citant M, Lerch, comme vous vous le proposez, vous lui rendrez service et vous lui ferez, plaisir; je suis en correspondance avec le jeune géomètre et je sais combien il sera sensible à voir son Mémoire mentionné dans un recueil français. Ce Mémoire, je dois l'avouer, m'a passé sous les yeux, mais sans fixer suffisamment mon attention, faute d'un certain relief dans la rédaction, et puis parce que j'avais, en le parcourant, des préoccupations qui ne m'ont pas permis d'y donner une suffisante attention. Mais il y a autre chose, je dois vous apprendre que M. Lerch lui-même a été devancé, il y a quarante années, par M. Lipschitz, et que j'ai été chargé par l'éminent analyste de lui faire savoir qu'il a traité le même sujet et trouvé les niêmes résultats, M. Lipschitz vient de m'envoyer son Mémoire qui a paru dans le tome M-, i85^ de Crelle sous le titre : Untersuckung einer ans vier Elementen Reihe et, connaissant maintenant ce que vous avez fait, je puis à peu près le comprendre malgré l'allemand. Vous aurez donc aussi à lire ces recherches, afin de les mentionner. M. Lipschitz, d'ailleurs, a agi avec grande bienveillance envers M. Lerch, il m'a écrit qu'il se bornerait à rappeler son ancien Mémoire et, sans faire aucune observation, dans un article sur le même sujet destiné au Journal de M. Kronecker.

On m'assure que le Journal de M. Scklômilch est à la bibliothèque de l'École Normale, j'aurai donc le moyen de rechercher l'article de Hankel que vous voulez citer; permettez-moi, pour diriger mes recherches, de vous demander si vous connaisse/ le

titre de son Mémoire, ou à peu près l'époque à laquelle vous présumez qu'il a été publié.

En saisissant cette occasion pour vous donner la certitude que de Paris on veille sur vos intérêts et, dans l'espérance que vous n'êtes point par trop chagrin d'avoir été devancé par M. Lipschit?., qui n'a pas d'ailleurs dégagé une corrélation concernant la fonction r{ic), je vous renouvelle, mon clier ami, l'assurance de mon affection bien sincère et bien dévouée.

Dois-je vous envoyer le texte de votre article?

- STJELTJES A H ERMITE.

ChEE MoNSIEtlB,

Voici l'exacte vérité concernant l'article de M. Lercli dans les Acta. Le fascicule Ags Acta où se trouve ce travail, je l'ai entre le;^ mains, il j a je ne sais combien de mois. Je n'y ai jeté alors qu'un coup d'œil et sans l'étudier à fond, les formules paraissant assez, compliquées. Aussi, dans mon esprit, il n'en restait que ce souvenir un peu vague qu'il s'agissait d'une généralisation de la fonction Ç{f) de Riemann. Mais, lorsque j'ai réfléchi à l'expression asjmptotique de votre fonction R(^), Vidée ne m'est pas venue un instant qu'il pourrait y avoir quelque rapport avec le travail de M. Lerch. Ce n'est qu'après avoir terminé mon travail et avoir remarqué l'analogie de la transformation dont je fais usage avec celle indiquée par Riemann pour obtenir la relation entre Ç(s) eti^(i — s), que l'idée m'est venue d'examiner plus attentivement le travail de M. Lerch. C'est ce que j'ai fait lundi soir, après les examens de la licence. Et j'ai vu alors immédiatement que mon résultat doit être compris dans celui de M. Lerch, quoique je n'ai pas encore fait les calculs nécessaires pour le constater eifecti-

La généralisation de M. Lerch revient, en somme, à ceci qu'il considère au lieu de

28a COnnESPOnDANCE D'HEItmiTE ET DE STtELTJES.

série procédant suivant les puissances de -> une série procédant suivant les puissances d'un nombre quelconque de module inférieur à l'unité et qu'il écrit sous la forme e'^ en supposant

Peul-êLre, si au lieu de poser

on avait posé

<|u'on serait amené à introduire

ce qui réalise ce qu'il y a de plus essentiel dans la généralisation de M, Lerch. Mais le temps me manque en ce moment pour vérifier ceci.

La comparaison do

me ftiit supposer que la valeur asjmptotique doit cli'e alors

Si ces prévisions sont exactes, ne vaucIraiL-il pas jnieux alors

refaire mon article en considérant

Je crois que oui, mais je ne pourrai rédiger mon travail que dans quelques jours. Je vous le soumettrai alors pour j changer, si cela vous paraît nécessaire, quelques mots dans l'extrait de vos lettres qui y figurera.

J'eù examiné, à Auch., un peu ce que vous m'avez dit de l'application de la méthode de Laplace à certains cas où cette méthode

donnerait des résultais inexacts. Je vous avoue que j'éprt quelque difficulté à l'admettre, dans le cas

le oocfricjent de x" se met sous la forme

et il me semble qu'il faut appliquer la méthode de Laplace aux expressions A et B séparément. Si l'on trouve alors, pour A et B, la même expression asjmptotique {ce qui me paraît ti'ès probable), on ne peut rien conclure, ou plutôt on peut dire alors seulement que la valeur du coefficient devient très petite par rapport à A el àB. Mais, dans le cas

le coefficient de x" est

et il me semble que la méthode de Laplace doit alors résultat exact.

J'ai remarqué que votre élégante démonstration de

s'applique aussi à

r(« + ») -.1, (n-.r).".'"-./. [ J I '^ En posant avec vous

LZ-fi:! = e-©j {o<e<L),

Il vient, après réductions,

r(«^-a) = [«-H(<î~i)0)M-(ft).

Voire très sincèrement dcvi

2B4 COnUESPONDAIiCE D HERHITK ET LE STIELIJES.