IIERMITE A STIELTJES

Paris, ifi novembre 1888.

Mon cher ami,

La détermination, par la méUiode de Lapîacc, de la valeur asjmptotique de la série

lorsqu'on suppose x très grand, s'obtient facilement comme vous allez voir. Observant que les termes vont d'abord en croissant pour diminuer ensuite indéfiniment, on détermine le rang n du terme Il posant la condition

On en tii'c en simplifiant et, par conséquent,

d'où

iNégllgeant les quantités en -, je prends

ce qui donne pour l'expression du plus grand tern

Ceci posé, soit T le terme de rang t avant le maximum, c'esti-dlre

yGoosle

LEïïiir; 130.

La condition a + «ft = .a; + - permet d'écrire

et fie là résulte

logT — i()!;X = :r

Développons le second membre en série jusqu'au tenue en ï*, et négligeant encore les quantités en -, on obtient simplement

logT-logX=-— -

C'est la même expression qui s'ofi're pour le terme de rang (, après le maximiim et la valeur approchée de la somme sera donc donnée par l'intégrale

X f e'^^ dx.

On trouve ainsi la quantité

Mais on a le sorte qu'en négligeant — elle devient simplement

Votre prévision est donc complètement réEdisée; il en est de même pour l'origine que vous avez eu l'idée de donner à la série R(^), généralisation de celles auxquelles j'ai été conduit en employant les décompositions suivantes {^Journal de Cvelle, t. 89,

2Hb COKllESPONUANCE D IITÎRMITK ET DE STIT.LTJES.

Mais, c'est ce que vous-même vous avez déjà dû reconnaîtr je ne m'y arrêterai donc point.

Mes sentiments de bien sincère affeclion.