STIELTJES A HEBMITE

ToiilQuse, Il di^iiembre iS8B.

ChEU MOHSIEUH,

La manière dont M. Kroncckcr envisage le tliéorènie fondamental de Caiicliy

Monatsberitekte, p. 688; i88o, p. ^83; i885) me semble bien intéressante. Pour lui, ce théorème est un corollaire d'un autre théorème qu'on peut énoncer ainsi qu'il suit :

Soit/"{a:, j)') une fonction de deux variables réelles. Supposons Q^e f{x, y) soit continue et finie ainsi que ses dérivées du pre-

LETTRE 159. 3lS

niinr et du serond ordre dans uu certain domaine D. Alors, si l'on sait rrne les dérivées

"l El

sont w/ii/o7-»ie.î dons le domaine D, on pentcnconchii-e que /'(j;, ^j')

elle aussi est uni/orme dans le domaine D.

On dira qu'une fonction /(ic,)') est M/w/o'Tne dans le domaine D lorsqu'on a

J df{x, y) = o,

l'intégrale étant prise sur une courlie fermée quelconque tracée dans ce domaine.

En effet, considérons une courbe fermée G; d'après les hypothèses, l'intégrale double

dw dy ,

prise sur toute l'aire de C, a une valeur finie, qu'on peut calculer soit en intég^rant d'abord par rapport à x, soit en intégrant d'abord par rapport ky.

Dans le premier cas, on obtient

dans le second

les intégrales simples étant prises sur le contour de C dans le sens

3i4 coiinESPONDANr.F. d'hermith et dk stieltjes,

direct. On en déduit

Le théorème de Cauchy s'en déduit immédiatement. En effet, soit

f f{z)dz=f {Vdx — q dy)-^iJ ((idx-^?dy).

Mais V dx — Q f(r est une différentielle exacte et l'on peut

f (?d^-(ldy)^-Jdf{œ.,y).

Mais maintenant le théorème précédent s'applique, car àfi^.y) ^^^ <>/(^,y) ^ n

sont, d'après les hypothèses, des fonctions uniformes et linies ainsi que leurs dérivées ; donc /(x, y) l'est aussi et

f {Vdcc-(idy) = j" df{:r.y)^o]

de même, on aura

f (Qrf^-+-I>4K)= f d^{^,y)=<,.

Voici une déduction de la décomposition en fractions simples de

— que j'ai expliquée pour mes élèves, comme application des

théorèmes généraux de la théorie des fonctions.

Je considère la série

qui est évidemment converg;ente. On constate d'ahord qiie/(3) est uni/orme. Ensuite, il esl facile à voir que si s tend vers zéro, 11 en est de même de /(s). Et à cause de /(s) =/(-\ on voit aussi

,TTRE lof).

tjue 3^30 esL un zéro de la fonction. D'après cola, il est clair que f(z) ne peut devenir infinie que lorsqu'un des termes de la série devient infini, ce qui suppose z = i. Et l'on a

[!og(,-H A)P ^^ [log(T + h) + i».uiY ou

cjuantité finie pour h = o.

Donc la fonction /"(s) admet comme pôle double le point s = i et n'en admet pas d'autres. Mais pour nne fonction de cette nature le nombre des pôles doit égaler le nombre des zéros et ainsi les zéros s = o et s ^^ oo sont des zéros simples. De tout ce qui précède on conclut

mais on a encore cls — i , à cause de/(H- A) — v^ -I-. . .. Ainsi, on a finalement

d'où par intégration

ou bien isolant le terme répondant à n =: o

et pour « =^ o

3l6 COKaESPONDANCË DIlERniITE ET I

Je remarque qu'on pourrait obtenir de la même façon la décomposition en fractions simples des fonctions elliptiques. Soit, par exemple, la formule (votre Cours, p. 229, 3' édition)

'••-'-ly-^'à]-

En posant

J, îi/^(i-^)(i-i'2)

on a

> = .nHI'(»)l,

et ainsi la fon

mile (i) peut s'écrire

o„, en pren..

l la dérivée, il vient

-*'"^"-""-'""^2[f(iy^,.

Or, on pourrait établir cette formule directement en étudiant la série qui figure au second membre.

En posant

on constate directement que «(a) change désigne lorsque s décrit un contour fermé enveloppant les points o, 1, r^- Mais fp(^)^ est une fonction uniforme. Il est facile encore à constater qu'elle s'annnle pour s = o, i, -j-- Et ensuite on voit qu'elle n'admet pas de pôle autre que le point ^=^00. Lorsque s s'approche de s ^00, un terme et un seul de la série devient infini et il est donc facile à voir comment se comporte ^(s) ou s(s)* dans le voisinage de a = oo. On établit de cette façon la formule (9.) d'où l'on déduira ensuite facilement (1),

Cette méthode suppose seulement qu'on ait étudié la nature de l'intégrale F(a) ou si l'on veut la fonction inverse sn^s. On doit avoir poussé celte étude assez loin pour connaître toutes iet de l'équation

En somme, cette rnélliode ne peut être considérée que comme une vérification, mais elle me semble instruclive néanmoins. Aussi au fond je n'ai appliqué qu'une idée de Riemann. Pour obtenir l'inversion d'une intégrale elliptique, il étudie d'abord cette intégrale, ensuite il étudie les fonctions 0. En substituant alors l'inlégrale dans la fonction 0 comme argument, il obtient une fonction qu'il reconnaît être une simple fonction algébrique. Vous savez qu'il a appliqué ce procédé synthétique à des problèmes bien plus généraux. Mais, en somme, la marche indiquée plus haut est parfaitement analogue. La seule différence c'est que je considère une série double au lieu d'une fonction 8.

Votre bien sincèrement dévoué.