STIELTJES A IIEIiMITE

Toulouse, le 3 décembre i8fi8 (lundi aoir).

C'est seulement en ce moment <[ue me parvient votre lettre gui a dépassé Toulouse et revient ici par Cette et Carcassonne.

Il me semble bien curieux que votre méthode si naturelle pour obtenir l'expression de Q((i) à l'aide de S\^{a) conduit au même

LBTTBE 158. Sog

résultat cpe l'artifice de M. Lerch qui consiste a introduire le facteur „,j.^|, dans l'expression transformée de Q.

Voici maintenant un résultat sur la série de Stirling dont j'avais déjà un. pressentiment ce matin. La formule

étant vraie lorsque a est réel et positif, je remarque que i'intégraJe a un sens, quelle que soit la valeur de a (on doit exclure seulement la coupure de o à — oo). En effet, x étant très grand, on a à peu près f{x)= ^^ et, comme on a i[-'( k + i) = -{-'(k) — -, il suffira de montrer que

. un sens pour w = -h oo. Or, X variant de o à +00, l'argument décrit une droite et ou

R croît de o à +co, » restant constant. D'ailleurs -f est compris entre les limites zh it. Or, il n'est pas difficile à montrer qu'on a alors

mod ■!-'[«£'?) < ■

3)1 étant une constante (qui dépend de f seulement de telle façon que Oit croît au delà de toute limite lorsque f s'approche de itit, mais ici f est constant).

Parla, on voit que

3IO CORRESPONDANCE D'HEUMITE ËT DE STIELTJBS.

donc l'intégraie a un sens, Il ne semble pas douteux, d'après cela, que la formule (a) représente \i.(aj dans tout le plan.

Voici maintenant comment on peut en déduire la série de Stirling. Je remarque d'abord que

donne

Te pose maintenant

J'obtiens ainsi une série de fonctions finies qui s'annulent pour c = co, et l'on trouve facilement

ma,-xT,(j.),

iina'-aïYjCa^),

:os^-^oj(^ ,

cosa^ /i.'2.3.4 1.2. -.6 \ sina: /I.2....5 i.a...? \

la loi étant évidente. En effet, les dérivées de ■fi(a^) et de cosa; — x<f(x) sont identiques et ces fonctions s'annulent pour ir = oo. On raisonne de la même manière pourtp2(;K), fai^;),

LETÏI.E

On

1 voit maintenant au

ssi que

Cela étant, une intégration par parties donnant et ayant de plus

on trouve que tous les termes intégrés s'aunuSent pour a: ^= -\- a. ainsi

En exprimant enfin <}''(i), "[^"(i); ---à l'aide des nombres de Bernoulli et substituant dans l'expression de logr(a), j'obtiens toute réduction faite

B) Bj

C011RESL>ONIIAN€1! B IIERHll

Quant à la fonction 02„{x),

■iH

Voilà donc, grâce au U^avail de M. Bourguet, une déduction de la formule de Stirling telle que je l'avais rêvée. Il ne reste qu"à discuter l'expression de R„.

Votre sincèremenl dévoué.

P. S. — Soit h réel positif, il sera intéressant de calculer la différence

pour e positif très petit. On connaît cette différence d'avance. C'est une fonction discontinue de b qui change brusquement pour b^-.i, 2, 3, 4, ■■■■