IA
moàœ < R,
.,lx
"-1 modi<R,
remmiuB qu'en
upposant
clam un nomln-c
quelconque 1110 d
inférieur à R, et ^<pRu
le
s développeinenr
l^\ Ao
se
ni convergents tous les deux, en sorte qu
on
obtient
ant sur un cercle
d'un rayon
compris entre
3 et
r^ fn-
'iiz)d^-
Ao^^ -H A 13^2 -4-.
On obtient ainsi une valeur finie de F(x) tant que modx < pR| et comme p peut s'approcher indéfiniment de K, j'en conclus que le rayon de convergence de la série F(j;) est RK) , ce qui est bien connu. En supposant, avec vous,
COHKtSI'ONDANCE I) HERMITI]
c'esl-à-clirc
F(.v) = R/(r^)-t-Sf(sc,)+...
Mais ce n'est là qu'une modification de votre analyse et je ne sais pas si elle permettra de pousser plus loin cette étude.
Les polynômes U et V dépendent seulement des 3« premiers coefficients du développement de f(*), mais on peut changer arbitrairement ces coefficients sans affecter le rayon de convergence R,, et aussi, paraît-il, sans affecter d'une manière notable la nature de cette fonction 'f{x)- H semble donc qu'on ne peut l'ien dire en général sur ces racines de V ^: o.
Voici ce que je trouve en examinant la note de M. *",
La série
est convergente toujours en supposant
et elle représente toujours Q{i — a).
Quant à
comme M. "' le remarque, elle est convergente seulement pour
et elle représente alors Q(i — a).
La convergence de la série (I) est très facile à établir. En effet, il est clair que
et lorsque x est négatif il est clair que
ainsi, te module d'un terme éloigné est inférieur à
la série est donc convergente comme une progression géométrique
de raison — à peu près. Pour se convaincre qu'elle représente
toujours Q(i — a) il suffit de remarquer que si (I) est vraie pour un système de valeurs m, w, elle l'est encore en remplaçant w par w+ u. En effet, par ce changement le premier membre diminue de
il n'y a pas ici ombre de doute sur la légitimité du développement
ce qui donne, enfin,
pour la quantité dont diminue le premier membre de (I) en changeant co en m + m. Mais il est clair que c'est là précisément aussi la quantité dont diminue le second membre. Donc la formule (I) est toujours vraie, mais en somme je n'ai fait que suivre la voie que vous m'avez indiquée. Si M. "" indique w -[- w >■ i comme conditioa de convergence, c'est qu'il doit n'avoir pas fait attention à la variation des nombres *b„<Ce"- —■ Du reste, il est clair, d'après ce qui précède, que la série converge à peu près
comme une série géométrique de raison , cela provient de la
série i H — — ^- \-.. . oùjf a pour limite supérieure u.
324 CORRESPONHASCE D'ilERMITii ET DU S1IELTJE8.
Après avoir élabli
,r '""•-»-» <(»=J;("ti7')»-"-+ »)'—■"-"-".
il n'y a qu'à remplacer avec vous <û par d + «, (o + a h, ... eL de faire la sommation. Si l'on suppose, comme M. *'*, rt> o, tous les termes sont positifs, la convergence est absolue et l'on peut prendre les termes dans un ordre quelconque. On obtient ainsi en toute rigueur (I), mais le résultai subsiste quel que soit a. De même, on voit que (II) est convergente pour m <; w, la convergence est comparable à celle de ^ ( — ) • ■ ■ ■
Quant aux expressions de R„, R',, il n'y a pas de difficulté à obtenir de telles expressions, en écrivant, par exemple,
avec un reste. Il est clair qu'on obtiendra ainsi une expression qui monti'e la convergence de la série, R„ doit renfermer un facteur j J L'expression de M. *** laisse à désirer sous ce rapport. Peut-être a-t-il suivi sa métbode de déduction, et je remarque, en effet, qu'elle présente des facilités pour obtenir R„, mais, en faisant ce calcul d'une manière convenable, on doit arriver au même résultat que tout à l'beure.
J'ai rédigé provisoirement mes réflexions sur la fonction F et la série de Stirling pour les reprendre plus tard plus facilement. J'ose prendre la liberté de vous les envoyer avec la prière de vouloir bien les donner à M. Bourguet lorsque vous le verrez. Si vous avez le loisir d'y jeter un coup d"œil, je crois que la déduction de la formule
à l'aide du théorème de Cauchy
page i/\, vous fera plaisir. On peut donc se dispenser de petits
LETTRE 1(13. SaS
artifices dont on a besoin jusqu'à présent pour arriver à ce résultat. Il reste à noter que, tandis que la véritable origine analytique de l'intégrale
se trouve ainsi dévoilée, celle de l'intiîgraic
(votre cours), page i24i reste obscure.
Je suis un peu souffrant depuis quelques jours, c'est un mal d'oreille. . .. Mais c'est la première fois que cela s'est déclaré cbei moi. Gela me donne un grand mal de tête et m'empêche de dormir.
La fin de l'année est si proche, que je vous offre déjà mes meilleurs souhaits pour l'année prochaine.
Votre sincèrement dévoue.
P. S. — Je ne veux pas encore trop me plaindj-e de mon mal, car c'est dans une insomnie que j'ai vu l'origine de l'intégrale de Binet. Mais enfin, cela ne doit pas durer,
