H ERMITE ET I
D'après la seconde, j'ai donc
mais de (i) je tire en inultiplianL par dx el intégrant, si dans le second membre il est permis de changer l'ordre des intégrations,
(3) f f{a + 3:)dx = - f B du.
et, si l'équation (i) qui suppose partie réelle ^ ;> o est encore vraie pour a; = o,
et ainsi (2) peut s'écrire
C'est là une formule d'AIsel, (Mufres, t. I, p. 38 en bas. Mais ia méthode précédente jette une nouvelle lumière sur ce sujet, la méthode d'Abel manque de rigueur tout à fait.
Il faudra voir aussi à rattacher aux théories de Gauchy la formule sommaloire d'Euler et de Maclaurin. Ce sera possible probablement. Lorsque M. Malmsten a publié son Mémoire sur ce sujet de nouveau dans les Acta, la rédaction dans une Note faisait entrevoir l'espoir d'une extension de la formule aux variables imagi-
D'après ce qui précède, je crois qu'il sera possible de démontrer la formule à l'aide des méthodes de Cauchj, mais je ne crois pas que l'extension aux valeurs imaginaires existe. En effet, plus haut, il fallait supposer
(') \oii Acta Malheiiialica, t, V. p. i.
en sorte qu'on a réellement à faire avec les fonctions d'une variable réelle. Aussi le théorème (I) par exemple ne s'applique pas lorsqu'on prend pour f{x) une constante purement imaginaire. Le second membre serait nul.
On peut envisager (I) sous un nouveau point de vue en prenant pour A une fonction réelle arbitraire de u telle que
limA^o („=«;/t<r).
Alors l'intégrale existe et définit une fonction d'une variable imaginaire x, dont la partie réelle se réduit à A sur l'axe des y.
Veuillez bien agréer, Monsieur, la nouvelle assurance de mon entier dévouement.
- //ERMITE A ST/ELTJES.
Veuillez agréer mes souhaits de bonne année que je vous adresse de tout cœur, et en même temps mes vœus.
A mes souhaits de bonne année je joins mes remerciments pour vos dernières lettres et surtout pour le résumé de vos études sur la fonction F, que je vous demande l'autorisation de conserver quelques jours avant de l'envoyer à M. Bourguet, à qui je l'ai annoncé. J'ai le plus grand intérêt à le lire et à l'étudier, mais il me faut du temps, ayant mille choses à faire en ce moment. Vous savez sans doute que M. Bourguet conteste votre conclusion que la série de Stirling est applicable dans toute l'étendue du plan, même lorsque la partie réelle de la variable est négative. D'après lui, la série n'est valable qu'à droite de l'ase des ordonnées et voici le motif qu'il m'en donne. Supposons la relation
et désignons par R' ce que devient K lorsqu'on change o on aurait évidemment
yGoosle
SaS CORBESPOWDANCI! D HERilirTE ET DE STrELTJRS.
quantité c|iiî dépend de l'entier «, ce qui se lroi7ve en conlcatlictlon avec la propriété suivante, que M. BoLirguet a découverte : j(rt) + j,«)^alog(,-eî''-.().
En attendant que vous ayez le dénouement de la' difficulté, je fais encore appel à votre bonne obligeance en vous priant de m'expliquer ce point de voire lettre du a3 décembre, où vous dites qu'en supposant que R soil, le rayon de convergence des séries
et que !a série
snit aussi convergente pour mod- < K,, on peut en conclure, ce qui est bien connu, que RR, est le module de convergence de F(a:). Comment donc, mon cher ami, parvenez-vous à cette conclusion? Comment le rayon de convergence de F(ic), que nous supposons égal à R, devient-il ensuite RR, ; comment, enfin, cette conséquence est-elle bien connue?
■ Excusez-moi, je vous prie, de ne pas apercevoir ce qui est clair et évident pour vous, et plaignez-moi de ne pas avoir une suffisante liberté pour me consacrer plus entièrement à l'Analyse.
Les résultats de M. '**, sur la convergence des séries qui représentent Q(i — a), me causent beaucoup de surprise, et nie paraissent très dignes d'attention; grâce à vous, je vais pouvoir les étudier à fond et m'en rendre bien compte.
Encore un mot sur la formule de Gudermann ; dans une de mes leçons de cette année, je la tire de l'expression
en remplaçant
La décomposition de la quantité gfa+Wa'^-- — ■ ' ^ ■ . — £ g iléments simples doiine l'intégrale définie, immédiatement, et o
Avec la nouvelle assurance fie mon affection cordiale ei bien dévouée.
16'5. — SriELTJES A HERMITE.
Toulouse, .adéct^inbre ,S88.
Cher Momsielii,
En vous remerciant [loni' votre souhait de bonne année... je peux vous dire aussi que mon mal ne paraît pas bien grave à mon médecin. Cela doit être un abcès dans l'oreille qui se guérira avec un peu de patience et de repos, mais c'est très douloureux; heureusement, je constate déjà un mieux sensible.
Je suis très honoré que vous voulez garder un peu mon manuscrit pour l'étudier et naturellement vous pouvez le garder pour
Maintenant, je répondrai encore succinctement à vos questions. Dans la lettre du 23, je dois avoir écrit
Ainsi je ne fais pas de supposition sur le rayon de convergence de F{-ï); miiis il suit de mon raisonnement r\ae. ce rayon est RR,. Ce théorème, en effet, doit être connu; si l'on a
^a;,,r", rayon de convergence R,
33o CORRESPONDANCE d'hEEMITË ET DE STiELTJKS.
est au moins RR, . Je crois que ce théorème se trouve énoncé explicitement dans un Mémoire de M, Pincherle dans le Journal de Brioschi. Mais la chose... est bien facile à démontrer. Soient r un nombre positif un peu Inférieur à R, r,... un peu inférieur à R, , les séries
sont convergentes et même absolument convergentes. Aussi on a quel que soit n
1«„,-|<P, |è„/-ïl<Q.
P, Q étant des nombres finis, d'où
\'>.„bA>T,r\<Pq, ce qui montre que ^rtnè,,^" est convergente tant que x reste inférieur à /■/■, . . . , mais iTt peut s'approcher indéfiniment deRR,.
La remarque de M. Bourguel
J(«) + J(-«) = -log(r-e^^''0
est parfaitement vraie; toutefois, il faut supposer essentiellement que le coefficient de i dans a
est positifj r/ ^ o; ainsi
i aîTtfli^, r e-'sn'7(cos:i/)it-i-i3Jn2^Tt).
Lorsque a croît indéfiniment, il en est de même de ^y (autrement un des points a ou ^ a resterait toujours dans le voisinage de la coupure, cas que j'exclus expressément). Et alors vous voyez bien que i{a) -\-i[- — a) tend vers zéro. Il n'j a pas de contradiction avec mon résultat, dont je crois du reste que la démonstration est inattaquable.
Veuillez bien agréer. Monsieur, la nouvelle assurance de mon dévouement.
