HERMITE A STIELTJES

Mon chbh Ami,

Vous avez le don des démonstrations simples et élégantes, et je ne puis assez vous dire avec quel plaisir j'ai vu l'analyse que vous m'avez communiquée dans votre dernière lettre. J'achèterais bien volontiers, au prix d'une humiliation plus grande que celle que vous exprimez, de trouver de telles choses. Vous vous êtes rencontré avec Eisenstein, qui tenait beaucoup à sa démonstration algébrique du théorème de l'addition des fonctions elliptiques, ainsi qu'il me l'a dit lui-même quand j'aî été le voir à Berlin en i853, et vous n'avez point lieu de regretter une telle circonstance.

Vous vous êtes bien facilement rendu compte, sans doute, de ce que je vous disais, que la fonction

^•imyïn g— ( s.r»+ ihry+ky'-)

a deux maxima, ce à quoi j'étais bien loin de m'attendre, et aucun minimum, ce qui tient à la nature méphistophélique des fonctions de deux variables. Il me faut, par conséquent, renoncer à obtenir la valeur asymptotique que j'avais espéré trouver en opérant sur 0(iC, y) comme sur ^[x). J'ai repoussé aussi comme une tentation dangereuse et périlleuse de chercher l'intégrale définie

qui aurait donné facilement, en différentiant par rapport aux

SflS OORHESPOXDAPICI

constanLes, la quanULé

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Je m'en tiendrai donc aux applications delà méthode de Litpl^ict/ que j'avais eue en vue lout d'abord.

Permellez-moi de i-appeler à votre souvenir la fonction ^(s) qui m'a donné occasion de citer vos recherches dans une leçon à la Sorbonne.

M. Jenssen a donné une relation intércssitntc qui est indiquée dans le BuUetin de M. Darboux

■ ■i)^,s) = ^^^[-irc..{s

Elle n'est pas difficile à démontrer, mais je doute qu'elle foiir- DJsse l'expression définitive de la fonction de Riemann; en tout cas, elle est utile, l'auteur en ayant tiré les \"aleurs numériques des premiers coefficients Cv, résultat auquel j'attache beaucoup de prix. Permettez-moi, lorsque l'occasion s'en présentera pour vous, de vous demander de m'indiquer, au point de vue de l'Arithmétique, la conclusion du Travail de Riemann, qui est en allemand et que je n'ai pu lire. Mais que cela ne vous détoui'ne point de ce que vous faites en ce moment où vous obtenez chaque jour de nouveaux et excellents résultats ; il arrivera certainement que vous vous sentirez recherché par l'Arithmétique et naturellement vous reviendrez à la fonction ^{s).

En attendant, mon cher ami, la liste de vos publications, je vous renouvelle l'assurance de mon affectueux attachement.