STIELTJES A IIEIiMITE
Cher Monsieur,
Je veux répondre par quelques mois à votre lettre. Probablement, vous avez vu aussi qu'il n'est (pas) besoin d'aucun calcul prolixe pour évaluer les intégrales
dont la différence est, par conséquenl,
.,^m-i j Z'^'^c-'"')- dy,
cela donnerait donc une destruction bien complète dans la diO'évenee
mais il paraît bien difficile de dire si l'on peut s'y fier. Cependant, après y avoir regardé de plus près, je retire formellementl'opinion émise précédemment que la destruction des termes dans la différence se bornerait aux termes principaux et, par conséquent,
■j — décroîtrait comme — ou — ;^ ■
J'admets maintenant comme probable un conlrebalancemeiil des termes d'une manière plu.s complète, quoique j'hésite ccpen-
38o COBBBSPOHDAKCE D nERMITR ET DE STIKLTJKS.
danl » admettre le résultai
Pour savoir avec quelle approximation on peut poser a
jl semble nuLureî, en posant
(!(■ recourir à la formule d'Euler
= /" /(:^),fe i./, [/{/,) -fia)]
JMLr
{/, = a-hnh),
en prenant ;; ^^ t^o, h t^ziix, n =; o, h^ i .
Vous voyez que /(b), f'{f>)< f"'{i>) s'annulent, de même que
Or, j'ai remarqué, dans mainte occasion, que si cela arrive el. qxie l'équation d'Euler semblerait ainsi donner l'égalité complète entre la série et l'intégrale, la vraie différence décroît très rapidedément. Gomme exemples, je citerai ici le cas de voire fonction R(^), la relation
et il y en a encore quelques autres, dont voici la plus simple
c'est-à-dire, pour /{x) = ^ ■ . >
pour ±00, y{a:) s'annule avec touLes ses dérivées.
Admettons donc qu'on a d'une manière très approchée, en ell'et,
En prenant la formule d'Eiiler donnera
mais les termes suivants, avec f'(o), f"'{o), . . ., renferment des puissances positives de plus en plus élevées de m, et le degré d'approximation nous échappe complètement.
Je crois <jue, pour avoir une solution rigoureuse de la question, il faudra tiouver des transformations analytiques, mais cela ne sera pas aisé du tout. On ne sait même pas si Xm est toujours positif; il se pourrait bien que la vraie valeur approchée renferme lin terme périodique qui change désigne comme dans la différence
Je crois que l'application aux séries doubles que vous proposer donnera des résultats exacts et est légitime.
G0IIHESPO^DANCfl 0 HERHl
J'ai plusieurs fois évalué des intégrales doubles d'après la méthode de Laplace et avec un succès complet.
Voire bien sincèrement dévoue.
- IIERMITE A STIELTJES.
Mon CHEU Ami,
M. Darbous, à qui j'ai communique vos cliariiiantes formules de développements en fractions continues, en a été aussi enchanté que moi; nous vous prions tous deux de vouloir nous fournir la liste complète avec les indications des recueils, de toutes vos publications mathématiques, nous aurons à en faire usag'e. M, Bertrand, j'ai le plaisir de vous le dire, n'a fait aucune difficulté à l'insertion dans les Comptes rendus de votre dernière Note. Vos remarques sont excellentes et désolantes, je me les étais faites déjà en grande partie et, dans ce que je vais écrire, je n'aurai garde de dissimuler tout ce qu'il j a de hasardeux et d'obscur à prendre pour valeur iipproehée de la somme
l' intégrait;
Quel dommage, car le développement suivant les puissances descendantes de m que vous ramenez au calcul de
jy-
s'obtient très facilement sans recourir au procédé de Ltiplacc. On a, en effet,
i.de bien autres difOcultés à l'égard des fonctions, 6
yGoosle
LETTUl! 18'l. 383
deux variables. Il s'agit d'obtenir la valeur asymptolique pour m L II ti'ès grands de la série doiible
question en apparence toute semblable à celle des © elliptiques, ov il s'en faut du tout au tout; la fonction de deux variables
OÙ [g, h, k) est une forme définie positive, passe par deux maxima ! Par conséquent, tout s'effondre, il devient impossible d'appliquer 1a méthode de Laplace qui suppose essentielleiïient un seul et unique maximum.
El, en même temps, vojez comment se révèle la singularité pleine de mystères des fonctions de deux variables. Deux maxima comportent un minimum dans leur inlervalle, s'il s'agit des fonctions d'une seule variable ; rien de pareil pour deux variables ; que peut-on entendre, en effet, par un système p et g de valeurs intermédiaires entre a et 6, a' et b'I
En vous demandant d'avoir la bonté de me rappeler et de me dire où Dirichlet a donné la formule importante dont vous aviez !■[ liabiiement tiré une démonstration de l'égalité de M. tipscbitz
: de tout jnon dé-
- STŒLTJES A IIERMITE.
Cher MoNsrKiu,
La vraie démonstration de mes propositions conocrnaut la décomposition en carrés de certaines formes quadratiques est si excessivement simple, qu'il est vraiment humiliant de n'y avoir pas songé tout de suite.
I8'| CORHESPONDANCE d'hERHITE ET l)Ë STIELTJES.
Je considcrfl les dérivées d'ordre pair de f{x) = séca^, z = tang- x
If =séc^(a<,),
j /" = séca^(ni 4- 6|3),
D'après le Lhéorèrae de ïaylor
l[.éc(«: + *) + sée(«-J))-/-i-^/-+^-^/»' ou bicH, en suLstituanl tes râleurs (i),
(1) -'(léc(l, + ;i) + S!C(T-»)l
sécarsénA sécaisécA
1 — tang'a^ tang' Â i — z tatig*/t = séi;a^ ié.ckil + a tang' A -h a^ tang'/j + :^ raiis'^ /( ,- . .),
d'où, par comparaison avec (3),
D'après cela, en se rappelant que ; = Lang-J', on voit que le
LETTRE 18i.
second membre de (3) peut s'écrire
tandis que le premier membre est
soit i + A= n, en eomparant de part et d'aulre le coefficient de x^'A^*, on trouve immédiatement
<4) a„= aja/. -i- b,t>/,.-h CiC/;-h. ■ .
et, en particulier,
Le tbéorème sur les dérivées d'ordre impair s'obtient par la considération de
^[séc(^-i-A)-séc(^-A)l
et, avec de légères modifications q.ui se présentent d'elles-mêmes, le même raisonnement s'applique aux autres cas des fonctions
Je viens de voir que, dans le Tome 79 du Journal de Crelle, M. Stem, dans un Mémoire sur les nombres eulériens, a développé aussi les dérivées de sécr, ( |> en introduisant
des polynômes en tangua;, ( ~ ^1 ■ Il a considère les mêmes
nombres «,, bt, a, ... que moi, mais les relations (4) et (5) lui ont
5Sb COElliESPONDANCE 1) HERMITE ET DE STIELTJES,
échappé. 11 se borne à discuter les relations entre les ai, bi, ci, . . . qui résultent du calcul de proche en proche des dérivées, d'où il lire diverses conséquences relatives aux nombres eulériens, etc.
Dans le Tome 88 du même journal, il considère aussi les dérivées de tang.2T; mais ici, au lieu d'introduire des poljnomes en tang^^, il introduit des polynômes en sin*a;. C'est là, je suppose, la cause que les résultats qu'il obtient ne présentent pas une analogie complète avec ceux de son premier Mémoire. S'il avait aussi introduit ici des polynômes en tang^ic, je ne douie pas que l'analogie n'eût été complète.
Mais, réfléchissant sur l'application aux fonctions elliptiques, je me suis aperçu que, si, dans mon cas, on emploie le théorème de l'addition, on pourrait, par une légère modification, déduire ce théorème par des considérations analogues.
Cependant, après avoir ainsi retrouvé le théorème de l'addition, j'ai vu que cette démonstration est exactement celle qn'Eisenstein a donnée (dans ses Mémoires réunis, avec une Préface de Gauss, p. i55-i58).
Au lieu de recourir à la formule d'Euler, j'ai eu l'idée, pour voir avec quelle approximation, on a
^ è^'" gf" =J (7.XH-jY"'q^'-'^-'~'"' dx, de me servir d'une formule d'Abel {Œuvres, t. I, p. 38),
La démonstration d'Abel n'a pas de rigueur, mais, récemment, j'ai retrouvé cette formule et vu qu'elle est applicable sous certaines conditions. Ces conditions, du reste, je ne me les rappelle pas distinctement en ce moment.
Dans le premier cas, il y aurait égalité absolue, mais, dans le second cas, on est amené à une intégrale qui n'a pas de sens. Tout cela me paraît indiquer que le problème de trouver la valevir
LKTTKE 185. 387
asymptotique de
est. eslrêmement difficile. Dès que j'aurai lui peu de loisir, je me propose de voir si, en aLtribuanl à q une valeur fixe, cette expression ne change pas de signe en donnant à m des valeurs de plus en plus grandes. Cela ne m'étonnerait pas, et serait une nouvelle preuve de la difficulté de cette question.
Je vous renouvelle, cher Monsieur, l'expression de mon entier dévoilement.
