SU

n'ja-t-il point de votre part une légère inadvertance? 11 me semble que F(^, r) ne passe que par un seul maximum, pour les valeurs positives de x et y, bien entendu. C'est probablement à cette dernière condition que vous n'avez pas eu égard.

Je considère, pour .2^ >■ o, / > o, s > o, la l'onction

où ax- + .. .=^ tp est une l'orme définie positive.

H est clair qu'il, y a, au moins, un maximum; il me semble qu'on peut établir ainsi qu'il suit qu'il n'y en a qu'un seul.

Les conditions du maximum ou minimum sont

[ '^ i logF =. ï — 6,3' — «ij — C5 =0.

Ce système, nous le savons, admet au moins ime solution (en valeurs positives toujours). Mais, s'il en admet plusieurs, il est clair que ces solutions répondront toujours à do véritables maxima, car la forme quadratique

— ■p(X,Y,Z) ;X'— -Î^Ys- -\-L-K

\doioitons, pour un moment, qu'en dehors de la solution

Sgo COBRESPONDAHCE d'heRMITE ET DR STIBLDKS.

M-u étant le maximum absolu, il y en ait une

aîz^a;,, y ~ yi, a = a,, F =^ M,,

où M| <.M„ est un second maximum.

Considérons les surfaces

F{a:, jr, z) = consi.,

ou plutôt la partie de l'espace où F(a:, /, s)^const. ^ C. Tant que C>-M|,, il n'y a pas de partie réelle de la surface. Faisons décroître constamment C. Pour C ^ Mo, nous avons un point isolé X = Xb, y = y», s = «o- Pour G ^ Mo — A, la surface est fermée et enveloppe le point Mo. A mesure que C décroît ainsi, la partie de l'espace où F > C s'étend ainsi.

Lorsque C = M, , la stirface se compose :

1° D'une surface fermée enveloppant Mf,;

a' D'un point isolé M, (3;,, y,, s,) en dehors de la surface fermée.

C décroissant toujours, le point M) aussi se trouvera enfenné dans une nouvelle surface fermée et, C continuant à décroître, les deux parties séparées de l'espace où F^C vont nécessairement s'unir en un point P. Il esl clair que, dans ce point P, point sin-

gulier d'une surface F^^consl., les équations (i) sont satisfaites. Mais, de plus, ce point P n'est pas un maximum, car, en se déplaçant d'un côté ou de l'autre, on peut faire croître ou décroître F. Mais, comme nous avons vu que tout point satisfaisant à (i) est nécessairement un maximum, il j a ici contradiction, l'hjpothèse d'un second maximum est inadmissible. Donc, à moins qu'il n'y ait un vice caché dans ce raisonnement (et j'avoue que je ne le vois pas), on peut affirmer que la fonction F n'admet qu'un seul maximum pour les valeurs positives des variables, et le même raisonnement s'applique à un plus grand nombre de variables. L'on se

trouve bien dans les conditions nécessaires pour l'application de la méthode de Laplace.

Il me semble que le raisonnement précédent est exact; cependant, je ne suis pas tout à fait sûr et j'eapère que voas me ferez part de vos objections, si vous en avez. . ., l'opinion de M. Picard me serait aussi très précieuse.

J'espère pouvoir vous envoyer dans quelques jours la liste demandée; si je n'ai pas voulu remettre jusque-là à vous répondre, c'est à cause de ce que vous m'aviez demandé concernant la formule de Dirichlet.

Votre sincèrement dévoué.

- HERMITE A STIELTJES.

Mon CHEil A.M1,

J'éprouve bien de la difficulté à suivre les considérations relatives à l'hyperespace, ce sera donc l'avis de Picard et non le mien que vous aurez sur l'idée originale que vous me communiquez poar établir l'existence d'un seul et unique maximum de la fonc-

lorsqu'on suppose un nombre quelconque de variables. Dans le cas de l'espace réel et relatif à trois variables, votre raisonnement, contre lequel je n'élève aucune objection, me semble extrêmement ingénieux, et je ne vois guère comment on pourrait s'en passer à moins de se jeter dans un océan de calculs. Pour le cas des équations

je crois préférable de joindre à l'ellipse

celle-ci qui représente deux droites

anx'^->r biji — m)xy -- cmy^=. a.

Sga CORRESPONDANCE D HERMITE lîT DE STIELTJES.

On voil, en effet, cjue les droites sont réelles et que les coefficients angulaires sont de signes contraires; par conséquent, l'une d'elles se trouve dans les deus régions où les coordonnées sont de mêmes signes, c'est celle qui donne, par son intersection avec l'ellipse, la solution unique en quantités positives à lat[uelle correspond le maximum, tandis que l'autre droite se trouve dans les deux angles des coordonnées où elles sont de signes contraires.

Je me suis aperçu trop tard, hier, que l'intégrale

s'obtient immédiatement au moyen du procédé élémentaire qui consiste à poser x ■=: ^ co&ta, y=psintp, l'intégration pouvant s'eÉfectuer immédiatement par rapport à p. Mais, voici une autre question sur laquelle j'aimerais bien avoir votre avis. C'est une application que je pense donner à mon cours de la formule

f dt Ti

t de là peut se conclure l'espression de Jacobi des fonctions X,i. ■oit, d'abord

Voici maintenant mon raisonnement. Supposons x réel et

LBTTKE 187. 398

moindre que l'unité; j'observe que le module de

ayanl pour valeur x- siii-a + cos-cp, est aussi inférieur à l'unité. Il est donc permis do développer, suivant les puissances croissantes de a, la fraction sous le signe d'intégration; ce qui donne sur-lecKamp

sous la condition admise et, par suite, quelle que soit la variable. Soient, en second lieu.

A + B — (A- B)c.iss = -3(37

Cela étant, je suppose x réel et supérieur à l'unité. L'expression x + \/t^ — icosç, étant aussi grande qu'on le vent, je puis

pression

■tj'en conclus l'expression de Laplaci

M. Laurent a donné une méthode ingénieuse que M. Jordan a reproduite dans le deuxième volume de son Cours d'Analyse, mais qui s'allonge pour une question secondaire, la détermination de signe; sauf l'obligation de prendre successivement ^ < i et a^>-i qui me contrarie un peu, la marche que j'ai suivie me semble facile.

Sgii CORBESPONDANCE o'iIEaJirTE ET

C'est au mois de juin que nous ferons usage de la liste de tos publications; il n'y a donc pas urgence, cependant, il peut se présenter telle circonstance où il nous serait utile de l'avoir plus tôt; aclievez-Ia donc, mon cher ami, si vous avez commencé, et envojez-la moi. En vous renouvelant l'assurance de ma bien sincère affection (').

. HERMITË A STTELTJES.

Votre détermination de l'intégi'ale

fil ^~^ '^ dy dz

m'a fait le plus grand plaisir, jamais je n'aurais réussi à découvrir - et à introduire l'aire S du triangle sphérique qui vous en donne une expression si élégante; je pense que vous ne vous opposerez pas à ce que votre analyse soil publiée dans le Bulletin et je suis assuré d'avanoe que M. Darboux lui fera le meilleur accueil. Je lui donnerai lundi la liste de vos travaux que vous m'avez envoyée, mais je ne vous réponds pas qu'il ne demandera pas que vous y ajoutiez l'indication des articles des Comptes rendus; en tout cas, vous apprendrez dans quelques mois l'usage que nous en aurons fait et qui ne sera pas pour vous être désagréable.

démonstration qui a été publiée dans le Bulletin des Sciences mathématiques, V série, t. Xni, i" pactie, p. i70-i'3a.

! manque aussi une lettre de M. Hermile â répondait. Comme le montre la lettre ISS, i la formule écrite plus haut.

LETTRE 189. SgS

J'accepte avec empressemenl et une grande reconnaissance, comme un témoignage d'amitié auquel je suis bien sensible, votre offre de collaboration pour une seconde édition du premier volume démon Cours d'Analyse. Il y a quelques années, lorsque M, Bouquet est tombé malade, je l'ai remplacé pendant le premier semestre à' la Faculté, ce qui m'a donné l'occasion de revenir sur le calcul différentiel en changeant bien des choses de ce premier volume. Ce sera à employer pour une nouvelle édition et, si vous le voulez bien, nous commencerions l'entreprise aux vacances prochaines. Ne vous hâtez pas et prenez votre temps pour le Mémoire de Riemann; en ce moment, j'ai d'autres choses qui m'occupent et, si intéressant qu'il soit pour moi, je préfère attendre à avoir plus de loisir pour m'en occuper.

Une autre fois aussi, je vous parlerai de l'expression de X,{s) de M. Jenssen. Ce matin, en donnant les expressions de Jacobi et de Laplace pour les fonctions X„, j'ai vu que j'avais bien inutilement pensé à la convergence des séries suivant les puissances de a, la convergence n'a rien à faire ni à voir dans la question, puisque a est indéterminé et peut être supposé aussi petit qu'on veut.

Vous pouvez ainsi juger combien je suis sujet à commettre des inadvertances, c'est ce qui me fait attacher tant de prix à votre amicale assistance pour la revision de mon premier volume où elles ne manquent point.

Avec tous mes remerctments, mon cher ami, et en vous renouvelant l'assurance de mon affection la plus dévouée.