STŒLTJES A HBFMITE

ChEH MoMSlEUli,

Ce n'est pas grand'chose que je peux dire sur votre déduction des intégrales qui représentent X„, mais, puisque vous y tenez, je ferai de mon mieux.

Il me semble qu'après avoir obtenu

t alors

396 CORRESPONCANilE U'ilEltUlTE ET DE STlELTJlîS-

il n'est |ias nécessaire de faire aucune supposition concernanL la valeur de x et qu'on pourrait raisonner ainsi. Quelle que soit la valeur de x (réelle ou imaginaire), on pourra toujours donner au module de a une valeur tellement petite qu'on ait constamment

mo<lji(a;-i- ■^afl—i cosç) <i

(■2) ^'"^'t.J (^-h/^^^^cos=p)'V^.

Mais, à l'égard de cette formule (i), il faut remarquer que, à proprement parler, on doit bien indiquer la valeur du radical ambigu ^1 — aaa-' + a^. Quel que soit x, la formule est exacte pour œ =^ o en prenant le i-adical + i , et c'est là la raison qu'on obtient {2) sans faire aucune hypothèse relative à x.

Mais supposons x réel et supérieur à i ,

restera toujours positif et si, maintenant, nous supposons aussi a réel, positif et très grand, vous voyez directement que l'intégrale est négative; ainsi, au lieu de (1), il faudrait écrire

On suppose a asse/, grand pour que, constamment,

moda(a^-l- s/x'>-^\ "^^^tf) > i

et, développant alors suivant les puissances descendantes de obtient

Mais, si nous avons dû supposer ici a,->i, cela constance suivante.

Si l'oii se place au poinL de vue le p

et il faut prendre le signe supérieur ou inférieur selon que la partie réelle de x est positive ou négative. Dans le cas où la partie réelle de x est nulle, l'intégrale n'a pas de sens. C'est ce que reinarqtie aussi M. Jordan.

Voici comment j'ai cherché à rattacher ce résultat à votre méthode.

D'al>orfl une remarque sur votre point de départ

/" (il T.

J'ohserve que

, , r" di /'^)=,/ 7î^

est une fonction uniforme (dans un tel cas, il serait peut-être plus précis de dire bien déterminée) admettant la coiipure de o à — co. En posant donc

il faut faire varier /■ de o à -+- co, fl de o à zt.7:, mais 0 ne doit jamais franchir ces limites ± Tt. Mais, pour 9 ^ o, on a

y/z étant réel et positif. Donc on aura, à cause de la continuité, généralemenl

Eu somme, dans la formule

l'argument de \J z varie entre r de \Jz est posiù'.'e.

COHRKSPONrANCE I> [lERMITE EV DE SriELTJES.

, j'écris

f dt 71

cl il faut prendre ici le radical t /t ■''^'^ '"^ ^^^ signe que la partie réelle saii positive. De même, dans la formule

l(A + B)-^(A-ll)cos-f Ai/| Si, maintenant, je prends avec vous

je vais supposer d'abord x quelconque mais moda assez petit pour que BctA soient sensiblement = 1, alors on obtient la formule (i); le radical étant aussi sensiblement i et, de là, la formule (a). Mais il est un peu plus difficile d'obtenir (iJ) ou mieux (3'),

Remarques préliminaires. — Les parties réelles de

X = p + .ji et Je !- = -^F4

Donc, les parties réelles de

^ = 3? — ■i/oc^ — I et de , = 37 -I- •/x'' — I

ont même signe et ce signe sera aussi celui de k partie réelle de

et encore (en supposant (p réel) de

On voit par là que x -\- ijx'^ — ico?,-^ ne peut s'annuler que lorsque x est purement imaginaire.

Cela érant, je reviens aux formules (4) et (5).

Je suppose x quelconque, seulement pas sur l'axe des Y, de sorte que sa partie réelle ait un signe déterminé qui sera aussi le signe de la partie réelle de ^ et de y Ensuite, je suppose le module de s très grand, de sorte qu'on a sensiblement

et ainsi, dans la formule {/{), on a sensiblement

et comme il faut prendre Je radical tel que la partie réelle soit positive

où il faut prendre le signe supérieur ou inférieur selon que la partie réelle de x est positive ou négative. Il en sera de même dans toutes les formules suivantes.

Le second membre de (4) est donc sensiblement

nsiblement = a. (on suppose nioda très grand), il v

.-ii^.^/7^

Nous avons remarqué déjà que x-\-\Jx^ — i cos;p ne s'annule pas; en supposant donc modi suffisamment grand, on aura constamment

Il est permis alors de développer, suivant les pui cendantes de a, ..., ce qui conduit directement à la for-

l\O0 COIIRESI'ONDAISCH d'uhIDIIIE El'

imilo (3')

(,^/iF=7co.,)"*'

Je vous demande pardon de ces longues et minutieuses considérations dont le fond se trouve aussi dans le Livre de M. Heine ; il n'y a que de légères différences de forme. Natureiîeinenl, on pourrait aussi considérer votre seconde substitution

Si l'on suppose a très petit (pour développer ensuite comme vous suivant les puissances croissantes de a), on a sensiblement

;ne -+- ou — , selon le signe de la partie réelle de x) et le second nbre de (4) est sensiblement

ilèr^H

i/i — ï'j.x^a.'' J^ iCH- i/a^î — I coscp — a

et développant suivant les puissances croissantes de a (ce qui est permis, puisque ar+y'a.'^ — i cosip ne s'annule pas), on retrouve (3'). Mais je dois terminer cette longue lettre qui anra déjà mis à l'épreuve voti'e patience.

Veuillez bien toujours me croire votre bien dévoué.

P. S. — A l'appui de la demande que je vous ai faite dans ma dernière lettre, je ferai observer que vous avez dû corriger les épreuves de bien des Notes que vous avez pi-ésentées en mon nom à l'Académie et que ce ne serait que juste si je vous rends un service analogue.