ST/ELTJES A ITEBMITE
Lejde, ij aug. z8S3.
Je hasarde à vous présenter le développement pins complet de la remarque cjne je vous ai déjà communiquée ('). J'ai étendu ma démonstration au cas que la fonction (j'(^) ^^i^^ l'intégrale
f f(x)Çi(x)d^
n'est assujettie qu'à la restriction d'èti'e continue et de ne présen qu'un nombre fini de oiaxima et miniiua.
Ensuite j'ai ajouté quelques conséquences concernant le dé' loppement en fraction continue ;
f'fîSla^- hL
On peut affirmer queXoj À,, \-,. . . . sont tous positifs et que a„, a,, cti, . . . sont tous compris entre «et b.
Je ne sais si cela était connu, mais je ne le troiive pas dans le Mémoire de M. Heine {Monatsber. der Berl. Akad., 1866). M. Heine, dans son Traité des fonctions sphériques (t. I, p. 206, a" édition), cite encore des travaux de MM. Christofiel et Tchebyclief sans donner une indication précise où on peut les trouver. Je n'ai pu consulter que le Mémoire de Ghristoffel sur les quadratures mécaniques {Borckardt, 55), que vous citez aussi dans votre Cours de l'École Polytechnique, et le Mémoire de M. Tchcbjchef dans le Journal de Liou%nlle, 2* série, t. III.
Je suis, Monsieur, avec le plus profond respect, votre bien dévoue.
( ' ) Nous n'avons pas la trace de cette précédente Communicaiion. La présente lettre accompagnait évidemment l'enYoi d'une Note insérée auï Comptes rendus des 1" et 8 octobre sous le titre : Sur i'éiialuatioa approchée des intégrales, (Note de M. Stieltj es, présentée par M. Hermile.)
Mo^i
- IIERMITE A STI'ELTJES.
Fom-iiî (Charente-luféi-ieurfi).
Je serai absent de Paris et en voyage ]iendant la durée des vacances, c'esl-à-dire jusque dans le courant du mois d'octobre, de sorte qu'il ne me sera point possible de présenter à l'Académie, avant celte époque, le travail extrêmement remarquable que vous m'avez fait l'honneur de m'adresser. Les propriétés que vous avez découvertes des poljnomes P,,(^) et Qn(^) m'ont vivement intéressé, et les conséquences que vous en avez déduites, sur les quantités \ et a, ajoutent des résultats tout nouveaux à la belle théorie de développement en fraction continue de l'intégrale
fiïL
ds^Û.
Je vous félicite, Monsieur, bien vivement du succès de vos efforts, et je me promets de mettre votre beau travail à profit l'année prochaine pour mes leçons delà Sorbonne. Il me rappelle une remarque que j'ai faite autrefois et que je prends la liberté de vous communiquer, en y joignant une question à laquelle vous serez, mieux que moi, en mesure de répondre. Soit
Dï[(37-a)"+»(a.-&)"+3]=(^-a)^(^-û)Pn(^), de sorte que 11(3:) soit un polynôme entier de degré n, et supposons que a-Hp soit un nombre entier k. On pourra écrire, en désignant par »(^) la partie entière,
puis
OÙ *(;c) est un polynôme de degfé /i ■+- li. Nous avons donc ainsi : (3r-«)ï(a.-6)Pn(^)=*(;i.)-i-^^ ^IL.^.,.
de sorte qiie la fraction ;ry— ■ est !a ii""'^" réduite du développement
LKTTRB 1,1. l5
en fracllon continue àe la quanlÎLé («— a'j'^l^x — ■ b)^. Cela étant, je demande si, en supposant a et 6 réels, !'é<juation n(a:) ^= o a
ses racines réelles. Pour a = ; ^ = , on se trouve dans te
cas de vos théorèmes, mais pour d'autres valeurs, en supposant par exemple A ^^ — i, le polynôme n(x) aurait-il encore les propriétés de la dérivée du dénominateur ^(a;)?
Permettez-moi, puisque vous êtes un ami de l'Arithmétique, de vous dire un mot d'une recherche qni m'occupe en ce moment. En supposant «- ^ 5 mod 8, et désignant par/(/î) le nombre des décompositions de n en cinq carrés impairs dont les racines sont positives, j'obtiens la relation suivante où E(^) désigne l'entier contenu dans a: :
le signe S s'appliquant à tous les entiers impairs a et «', tels qu'on ait n>-4««'- Soit ensuite E|(a:) une nouvelle fonction égale à zéro ou à l'unité,
En désignant |)ar F(/î) te nombre tot^d des décompositions de ii en cinq carrés, on a
F,„+F(,) + ...+ l.-(-.)-.EV«)H-82[°''(7;) + "'''(ft)]
Dans cette formule a et a' sont tous les entiers impairs, c, c' les entiers quelconques tels que n > aa', n >■ 4<^c'-
Les formules analogues pour trois carrés sont plus simples; j'ai vérifié le premier théorème pour n ^^ a i , mais je me trompe si facilement dans les calculs numériques qu'à mon grand regret je ne me suis pas risqué à aller plus loin.
En vous renouvelant, Monsieur, mes félicitations etmesremercîments pour votre Communication, veuillez recevoir l'assurance de mon meilleur souvenir et de mes sentiments tout dévoués.
- SriELTJES A HERMITE.
MONSIEUII,
Je n'ai pn résister au plaisir de vérifier les belles formules aritliméliqnes que vous avez bien voulu me communiquer et qui me semblaient d'autant plus mystérieuses, parce qu'il n'j entre point ' le nombre des résidus quadratiques au-dessus d'une certaine limite, mais je dois vous avouer qu'en ce moment je suis à peu près étranger à cette belle et profonde matière. Pour le calcul numérique j'ai mis votre formule
sous la forme
OÙ
et
^(/jj = somme des diviseui-s et p.
C'est ainsi quej'ai poussé les calculs jusqu'à n = loi.
J'ai encore calculé le second membre de votre formule pour /i=3i57, i65; la différence des nombres obtenus, i6y8el 1918, 220, est bien égale à/(i65). En effet on a
i63= 8i+49 + ai-(- o-M (Lao)(')
{') Celte colonne indique le nombre des décompositions e différant que par l'ordre des carres de ceux écrits sur la m5me
{I) Nous reproduisons les Tableaux tels quêtes a formés Stielljcs pour le cslcul du secoûd membre de la formule â vérifier. Les valeurs des premiers membres
