STIELTJES A HERMITE

Cheii Monsieur,

En vous remerciant vivemenl, je ne peux ra'empêcher de dire quelques mois sur un résultat que je viens d'obtenir. Je sais que vous êtes proi'ondément engagé dans d'autres lectures, mais je plaide les circonstances atténuantes parce qu'il s'agit d'un sujet qui vous a occupé et intéressé iieaucoup il y a quelques mois. Du reste, vous pouveK remettre à plus tard la lecture de ce que je vais écrire, mais je peux vous assurer que c'est presque aussi élémentaire que les livres de Lacroix, etc.

Il s'agit de l'expression asymptotique des coefficients de x" dans le développement de %(x') et de %^ {x").

Pour simplifier un peu l'écriture, je pose

J'obtiens comme il suit les valeurs asymptotiqucs de >%>„ et iiS>„. Le logarithme du terme

le maximum de ce tenue, en considérant k comme variable nue, a lieu pour

Soient maintenant A' = ^| + £, o ^ s -< i , k\ étant entier et positif. Je calcule la valeur du terme ^i'^"*'" dont le logarithme

Je calcule la valeui

■ du terme k'-\

^■inliit;k~k°-a —

-^ i';tanl infiiiimeiil petit, j'ai asyiiiptotitjiiemeiil De là je conclus

En effet, j'ai remplacé ainsi les premiers termes (ceux dans le voisinage du maximum) par leur valeur asympto tique, quant à ceux d'un rang éloigné de ceus-là, ils sont à peu près négligeables.

Or si je pose

Ou a, d'après la théorie des fonctions elliptiques,

si') donc

yGoosle

47^ CORRESPONDANCE d'hEIIMITE ET »K SÏIELTJKS.

c'est-à-dire

La méthode de Laplace aurait donné |joui' ,1.,,,, je crois, s ment le terme

eL donne ainsi un résultat qui ne me semble pas exact, mais plemeiil approché. J'ai vérifié la valeur de tt!-,,, dans un ce nombre de cas, n variant de 7 à i5 el à 27, l'accord est pa mais l'Analyse est si simple que cela ne valait presque pas la p

Votre très dévoué.

325 — HERMITE A STIELTJES.

Voire analyse est un petit chef-d'œuvre; elle donne, je crois bien, le seul et unique exemple où la méthode de Laplace soil complètement éclairée et complétée. Que je voudrais donc bien pouvoir projeter quelque lumière sur la relation suivante, dans laquelle je la résume, lorsque la fonction y(,^) est supposée n'avoir entre « et 6 qu'un maximum pour x^^\

■^fii)\.

Vous me permettrez de publier toute voire lettre dans l'article destiné à Bologne, et dont j'ai dû interrompre la rédaction à mon grand regTet. Après avoir appliqué la formule précédente au développement des coordonnées elliptiques, puis aux fonctions eliip-

tiques snic, cn^, dn^, elle viendra bien à propos pour offrir aiie analyse approfondie à propos de 0(a;), H(^), etc.

A mes félicitations, je joins, mon cher ami, celles de Darbons, au sujet de votre article sur les fractions continues.