HERMITE A S'flELTJES

Paris, ^4 octobre i8S3.

Monsieur,

Les théorèmes que vous veneï de me communiquer sur la somme des valeurs de la fonction /(«) pour les valeurs de n qui sont ss I ou ^ 5 modS, m'ont paru si intéressants que je n'ai pu m'empêcher de donner à l'Académie les résultats auxquels vous êtes parvenu, ainsi que ceux qui concernentla fonction œ(/i). Vous ne serez point mécontent, je l'espère, de trouver dans le prochain numéro des Comptes rendus les énoncés de vos théorèmes contenus dans votre lettre du 20 octobre, en même temps que votre proposition sur la somme des nombres de représentation de n par la forme x- + "îy^- Il me paratt hors de doute que vos méthodes, qui permettent de démontrer les résultats tirés des formules de la théorie des fonctions elliptiques, vont plus loin et donnent des résultats entièrement nouveaux. Les deux points de vue auront donc, à la fois, un domaine commun et des domaines distincts, par

exemple, en ce qui concerne la ihéorie des formes quadraliques de déterminants négatifs. En particulier, pour les déterminants — D, lorsqiie D^SmodS, la théorie des fonctions elliptiques conduit à introduire la fonction numérique qui, à l'égard d'un nombre n^3mod4j représente l'excès du nombre de ses divi- ' seurs ^ 1 sur le nombre des diviseurs ^ 3 mod4 sous la condition que ces diviseurs, d'une espèce et de l'autre, soient inférieurs à \/n. Posant donc

où d représente tous les diviseurs de n moindres que sa racine carrée, et désignant par F(N) le nombre des classes proprement primitives de déterminant — N, on a pour la somme

F(3)-f-F[Ti)-^...-F(«)

OÙ /iïe; 3 modS, la valeur

Il faut prendre, dans les sommes, pour k et /, les valeurs : k^^Z, II, ..., ii\ t=^'], i5, ..., n — 4 et, relativement à la fonction ^{li) je trouve ces formules

*(3) + 4'(7)+.---^'K'iN + 3).=2''-ir-'E(--^~^:=^).

Pour ce qui concerne la somme des diviseurs d'un entier impair, j'entrevois dès à présent que les formules elliptiques donnent les théorèmes que vous avez découverts, où l'on distingue entre les diverses formes de n, par rapport au module 8. Mais déjà surviennent des devoirs qui m'obligent d'aller à la Sorbonne, faire des examens de baccalauréat, et il faut m'arracher à mes réflexions et à mes calculs.

Recevez, Monsieur, la nouvelle assurance de ma vive sympathie et de mes sentiments de haute estime.

Je crains de vous avoir inexactement donné la définition d'une

/(4 CORRESPONDANCE d'hERMITE ET I

des fonctions que je nomme Esix) et Es{d;); permettoz-moi de vous indiquer les expressions exactes qui sont

Ces expressions me servent dans l'étude de la fonction ç(«) ( ').