STIELTJES A HERMITE

(.a Hiiyc, 17 octobre i8S3.

MoKSIEtili,

Il semble bien que la manière que j'ai suivie pour arris'er à votre li'ansformation de

diffère de celle que vous avcï employée. Je forme le Tableau

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La somnif; de tons les nombres de ce Tableau sera égale à J^sî l'on a eu soin de changer les nombres de la première, troisième et cinquième ligne horizontale en -|-i, ceux de la deuxième, quatrième et sixième ligne horizontale en — 1 . De plus, si l'on désigne par e(i) = Ef — — j le nombre des nombres impairs i, 3, 5, 7, ... qui ne surpassent pas t [t étant entier ou non), on voit facilement que

la première ligne verticale contient s ( - ) = E ( 1 nombres,

la seconde ligne verticale en contient e ( - ) = E( ^ — - — 1j la troisième ef^l^El— ^ — U etc. Soil encore ff{x) la somme des X premiers termes de cette série

en sorte que la somme des nombres de la p"^""^ ligne verticale est

Considérons maintenant votre nombre '/. :

c'est-à-dire la À"^"'" ligne Aor/so/ifafe contient X nombres au moins, la )> + i'*"" en contient A au plus. Maintenant on pourra obtenir la somme de tous les nombres de (A) (après le changement indiqué en ± i) en prenant d'abord les À premières lignes horizontales ; cela donne

4o CORBESPONBANCE d'HERMITE ET DE STIELTJES.

puis on prendra les ï. premières lignes verticales : cela donne

On aura maintenant compté deux fols les nombres qui sont écrits dans un carré avec le côté X; il faut encore retrancher leur somme qui est égale à 7.œ!(),); donc

Gela ne diffère pas essentiellement de la formule que vous ave/, obtenue.

Le même raisonnement s'applique pour transformer l'expression

avec ceUe seule différence que cp(a;) sera maintenant la somme des X premiers termes de la série

Vous voyez donc bien, Monsieur, combien fut simple l'application de votre transformation à ce nouvel exemple

Kr)^

dès que j'avais trouvé la démonstration que vous venez de lire de votre formule.

Je suis trop pressé, en ce moment, pour ajouter encore d'autres développements. L'École Polytechniqiic de Delft est une école civile; tous nos ingénieurs civils, des mines, etc., sortent de cette école. Dans les deux premières années, les élèves ont à suivre des cours d'Analyse, de Géométrie analytique et descriptive. La Mécanique fait partie du cours des deux dernières années, le cours complet comprenant quatre années. En arrivant, les élèves possèdent les éléments de la Géométrie descriptive, mais ils n'ont point de notion encore de la Géométrie analytique et de l'Analyse .

Je ne trouve rien à changer à la Note que vous avez bien voulu transcrire, et qui pourra paraître dans les Comptes rendus si cela vous paraît utile. Veuillez, encore cette fois, recevoir les remercîments de votre très dévoué.

p. S- — Veuillez bien adresser mes lettres encore à Lejde; ordinairement elles me parviendront ainsi plus tôt. Vous anrea bien remarqué que je n'avais point encore reçu votre dernière lettre quand je vous adressais ma lettre dn i5 octobre.

- HERMITE A STIELT.JES.

La démonstration que ^ transformation de la somm

m'a fait le pins grand plaisir, et mo» intention, qui, j'espère, ne vous contrariera pas, sera d'insérer votre lettre du 17 octobre dans mon travail, en disant qne vons me l'avez adressée en réponse à la communication de l'énoncé de ma proposition. Les méthodes en Arithmétique sont loin de se présenter aussi variées et aussi nombreuses qu'en Analyse, et je ne puis m'empêcher de croire qu'il sera utile de donner potir parvenir aux mêmes conclusions, deux procédés très différents, surtout lorsque le vôtre s'applique à des questions que, par te mien, je ne puis. aborder. En effet, Monsieur, je suis moins que vous, vir arithineticus, comme dit Jacobi : je ne fais que recueillir chemin faisant, dans le champ des fonctions elliptiques, quelques résultats faisant suite au n° 40, p. io3 des Fondainenta, et mon travail s'intitulera par conséquent : Sur quelques nouvelles applications à V Arithmétique de la théorie des fonctions elliptiques. Je compléterai, si vous voulez bien, en ce qui concerne les nombres ^n -\-\, ce que je vous ai précédemment dit sur la somme des valeurs de la fonction '^{x) où <d{x) est la somme des diviseurs impairs de x, en considérant les nombres 4 /i -I- 3 .

je distinguerai deux cas suivant que 4" + 5 csl différent d'i

42 COEHKSPOKDANCT, BHEIIHITE ET DE STIELIJES.

cairéj ou bien égal à un carré. On a dans le premier, la i'ormiile

dans le second cas, le terme algébrique se modifie, et j'obtiens alors

Mais vos devoirs à l'École Polytechnique vont réclamer tout votre temps et, comme je le fais moi-même, vous allez, Monsieur, renoncer aux recherehes pour ne songer qu'à vos leçons. Je vois que l'Ecole de Delft ressemble bien plus à notre Ecole Centrale qu'à l'École Polytechnique, pour son objet, comme pour l'enseignement qui y est donné, et c'est en vous remerciant des détails que vous avez eu la bonté de me donner pour satisfaire à ma curiosité que je vous renouvelle l'expression de ina plus liante estime et de mes sentiments bien dévoués.