STIELTJES A HERMITE

Lcydc, 'e noyembre 1383.

MoMSIEULi,

Vous m'avez fait un très grand plaisir par la communication de votre formule pour la décomposition d'un nombre 8^+5 en cinq carrés, formule beaucoup plus cachée que celle que j'ai donnée. En effet, le raisonnement qui m'avait donné ma formule était assez compliqué et curieux, ce qui m'avait empêché de reconnaître le véritable caractère de ma formule. Maintenant, j'ai reconnu que cette formule peut se démontrer d'une manière assez simple, et l'on peut établir un grand nombre de formules analogues pour la décomposition en 3, 5, >] carrés impairs; mais dans toutes ces formules entrent seulement les fonctions

m impair, d parcourant les diviseurs de m.

Ces fonctions jouissent toutes de la propriété exprimée par F(m)F(«)=F(™«),

m et II clanl premiers entre eux. Mais elles ne sont point de la nature singulière de votre fonction -^ et de cette fonction nouvelle yj

y in) =y ;:(3d -H d'). d'>'Sd. n = dd'

que A

Parmi les résultats auxquels je suis parvenu il j a quelque temps il en reste cependant un qui me paraît avoir plus d'intérêt. Le voici :

Soit n = 8^ zh 3, F(«) le nombre des classes pour le déterminant — /i, excluant les formes avec les coefficients extrêmes pairs tous les deux. Alors

'^F(n-Br^)=^-l^\n) {r = o,± ,, -J=2, . . -),

yGoosle

$'(ft) esL la foncùon de M. Kronccker

d parcouranl les diviseurs do n.

Cette formule, en efFol, ne semble point rentrer dans les formules données par M. Kronecker, tandis que la sommation s'effectue encore par cette fonction simple ^'(m). Dans les Monalsberichte de 1875, p. 2a3-236,M. Kronecker a donné de nouvelles relations; mais, comme il le remarque, dans ces nouvelles formules il entre des fonctions arithmétiques plus compliquées, en sorte qu'il reste toujours encore possible que ses anciennes formules soient les seules où entrent seulement ces simples fonctions arithmétiques, qui ne dépendent que de la totalité des diviseurs d'un nombre.

J'ai communiqué cette formule, il j a quelques jours, à M. Kronecker, mais je ne sais pas encore son opinion là-dessus.

Je vous suis extrêmement reconnaissant potir l'envoi du Mémoire de M. Gierster qui ne m'était point connu. Mais je ne pourrai l'étudier, comme il le mérite, dans le premier temps, en sorte que je devrai faire usage de votre permission de le conserver assez longtemps.

Veuillez bien agréer. Monsieur, l'expression de mon profond respect et de mon entier dévouement.

- HERMITE A STIELTJES.

Un deuil de famille m'oblige de quitter Paris; permettez-moi, avant de partir, de vous demander si votis voudriez bien rédiger, pour les Comptes rendus, une Note contenant les résultats que vous venez de découvrir, pour la décomposition en 3, 5 et 7 carrés impairs. Je ne puis, par mes moyens, d'aucune façon aborder le cas de 7 carrés, et ma méthode ne me conduit aucunement à vos fonctions Jj,,, Ai, ili^; vous rendrez donc service à ceux qui aiment l'Arithmétique, en annonçant des théorèmes entièrement nouveaux et d'un grand intérêt. Joignez-y, Monsieur, cette proposition

5o cORHESPONiiANCK d'hebiiite et de stieltjes,

2F{/i — 8r^) = — 5*'(") qui tient aussi à des principes différents de ceux que j'ai employés, et qui doivent avoir une grande puissance. A mon retour, j'ajouterai quelques remarques .à ce que je vous ai déjà dit de la fonction ■);(«); en l'emplojanlpour toutes les valeurs impaires, et les valeurs paires divisibles par 4, de n, elle donne le nombre des décompositions d'un entier quelconque en . 5 carrés.

Crojez, Monsieur, à mes meilleurs sentiments d'affection et de haute estime.