STIELTJES A HERMITF

MOHSIBUR,

En réponse à votre dernière lettre, je vous adresse cl-jolnt une Note contenant un théorème que je crois nouveau. Ce théorème s'est offert à moi, il y a quelques jours, sans que cela m'ait coûté la moindre peine. En effet, c'est une conséquence si facile des résultats que j'ai obtenus auparavant, que je m'étonne de ne l'avoir point vu immédiatement.

Je n'ai pas encore eu le loisir nécessaire pour voir par quelle formule ce théorème s'exprime dans la théorie des fonctions elliptiques. 11 serait intéressant de déduire encore ce théorème de cette théorie.

Vous trouverez plus bas les formules que j'ai obtenues concernant les décompositions en cinq et sept carrés ; mais peut-être il en existe encore d'autres, et je crois qu'il sera sage d'ajourner la publication jusqu'à ce que j'aurai eu l'occasion de revenir à cette recherche. Dans ce moment, d'autres devoirs ne me laissent pas le loisir nécessaire.

J'attends avec impatience, Monsieur, les observations que vous m'avez promises concernant votre fonction ^(i).

J'espère bien retrouver vos résultats à l'aide de considérations arithmétiques ; cela sera le premier travail que j e me propose d'entamer.

Croyez-moi, Monsieur, toujours votre très reconnaissant et dévoué.

m impair, m = dd' :

Fi(n) H = 8/t-i- 5, nombre des solutions de

F.,(n,) /j = 8/: + 7, nombre des solutions de

Il = 3^2 + y^+3'+ Cm- it'-i-y^-l-B'^.

a;, y, z, t, u, c, w positifs impairti :

8F,(«)-T,(^)-H„(^)+^(i^)+..., 8F,(n) = fi(«) + "?.(»- a') -HT.(»-l') + ->'.

GiF,(»)=,f,(«)+ïî,(B-2")+2.„(71 — 4")+...,

4F,(») = +■(«) + »*.("- 8-1') + »+.(»-8-»')+---. 48Fî(n)-a's(w)-t-3^s('!^8.i2) + 9^,(H — 8.22) + ...,

»Fi(») -+.("-». !') + *.(»-'. 3") + +.(»-»-5')+--., 24 !-,(») = ■!.,(«- 2. i') + t.(»- 2-3") + +.(»-». 5')+..--

i'w' ii!H noui'ecni théorème d' arithmétique.

On connaît le beau théorème, trouvé par Legendre et démontré par Gauss, qui établit une relation si simple entre le nombre des décompositions d'un nombre entier n^8/r-i-3 en trois carrés impairs et le nombre des classes de formes quadratiques de déterminant — n.

J'ai trouvé qu'il existe un théorème analog:ue pom- tout nombre entier de la forme 8^ + 5,

Désignons généralement par F(rt) le nombre des classes de formes quadratiques de déterminant — n, les coefficients extrêmes étant positifs, et excluant dans le cas n^= 8/r+ 3 les formes qui ont ces coefficients pairs tous les deux. Alors, n étant ^5(mod8)

5a COIlIlKSPOÎiDANCE D ilElllUTU ET DE STIBLTJES.

le nombre des solutions de l'équation

en admettant pour a;, y, s seulement des valeurs positives et impaires, est égal à iF(n),

Voici encore deux vérités qui sont intimement liées à ce théorème.

Posons pour un nombre impair quelconque n

d parcourant tous les diviseurs de n, d' étant le diviseur complémentaire, en sorte que dd'^= n.

Alors on a

F(«)H-2F(/j-8.,5) + 2F(/i-8.25)-l-^F(" — S.3^)-h----i<?("), pour rt. = 8A4-3ou/! = 8A:-|-5; et puis

F(«-2.[î)..hF(«-3.3^) + F(«-...5^)-i ... = -itf(«), pour H -= S/f -h 0 ou )i^%k -\- -.