INTRODUCTION. IX

bout de sa pensée. Il semble aussi, et c'est une curieuse impression laissée par ces lettres, que sous cette forme plus personnelle le langage abstrait de l'Analyse perde de sa sécheresse et que la Mathématique y devienne plus humaine. On n'oubliera pas enfin que c'est à l'amitié développée par cette correspondance que nous devons de pouvoir compter Thomas Stieltjes parmi les géomètres français les plus éminents de la seconde moitié du xix* siècle.

Emile PICARD.

yGoosle

NOTICE SUR STIELTJES

Thomas-Jean St.ieltjes naquit en Hollande, dans la petite ville de Zwolle, le 29 décembre i856.

Son père, Thomas-Jean Stieltjes, était un homme de haute valeur. D'esprit libre et indépendant, d'une volonté inflexible, il avait une remarquable grandeur de vues. A vingt-quatre ans, lieutenant du génie dans l'armée hollandaise, il publia, sous le couvert de l'anonymat, des conseils touchant la défense stratégique des Pays-bas. La maturité de ces conseils les fit attribuer à quelque chef de corps. Stieltjes ne s'en déclara l'auteur que beaucoup plus tard, dix-huit mois avant sa mort. Plus tard, ingénieur civil, il fut chargé d'organiser la canalisation de la partie orientale de la Hollande, puis d'une mission de deux ans et demi à 3ava, pour étudier les moyens de transport et dresser le plan du réseau des chemins de fer de l'île, plan entièrement exécuté aujourd'hui. Sa forte personnalité s'accommoda mal

(') Je dois les éléments de celle Noiice à l'estrême obligeance de M"" Stieltjes.

Je tiens à remercier aussi M. E. F. van de Sande Bakhuyzen, qui fut l'ami et le collègue de Stieltjes à l'Observatoire de Leyde, des renseignements précieux qu'il m'a donnés.

Dans les pages qui suivent, j'ai systématiquement laissé de côté l'analyse des travaux de Stieltjes, renvoyant le lecteur à l'excellente Notice publiée sur ce sujet par M. E. Cosserat dans les Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. IX, 1895.

XII NOTICE SUH STIELTJES,

avec sa situation de fonctionnaire. Des intrig;ucs politiques, suscitées par son excès d'honnêteté, le firent tomber en disgrâce et rappeler en Hollande, six mois avant la lin de sa mission.

Les fonctions de député que lui confièrent successivement les villes de ZwoUe et d'Amsterdam n'entravèrent en rien son activité d'ingénieur. Il fit, à cette époque, pour l'Allemagne, un plan du canal reliant actuellement la mer du Nord à la Baltique. Il s'occupa d'un projet de dessèchement d'une partie du Zuydersee et construisit, à Rotterdam, le beau port de la rive gauche de la Meuse. Cette œuvre difficile et pleine de hardiesse lui permit de donner toute la mesure de son talent d'ingénieur. Il mourut en 1878. On peut voir dans la Noordereiland , sur la Burgemeester Hoffman-Plein, au centre du quartier qu'il a créé, le monument que lui ont élevé ses amis et ses admirateurs. Il fut un type accompli de la forte race hollandaise et son fils hérita de sa hauteur d'esprit et de ses principes inflexibles de droiture.

Thomas-Jean Stieltjes, junior (comme il signait ses premiers Mémoires), passa ses années d'enfance avec ses parents dans les villes où son père, alors ingénieur, fut obligé de séjourner, Tl acheva ses études au lycée de Delft et entra en 1873 à l'Ecole Polytechnique de cette ville. Malgré sa supériorité, déjà reconnue par ses maîtres et ses condisciples, il en sortit sans son- diplôme d'ingénieur. Il n'avait pu, à deux reprises (iSyS, 1876), surmonter l'aversion que lui inspirèrent, toute sa vie, les concours.

M. H.-G. van de Sandc Bakhuyzen, directeur de l'Observatoire de Leyde, ami de son père, le fit entrer à l'Observatoire en avril 1877. Il fut attaché officiellement h cet

MUTICE SUR Sl'iËLIJES.

établissement comme « aide aux calculs astronomiques » le !*'■ décembre de la même année. Au mois de février iS'ijS, après le départ de M. J.-G. Kapteyn pour Groningue, il fut convenu qu'il prendrait part aux observations. Stieltjes entra donc au service méridien et collabora avec MM. E. F. van de Sande Bakhuyzen et Wilterdink aux travaux entrepris par l'Observatoire à celte époque, à savoir : un catalogue d'étoiles voisines du pôle, l'observation d'étoiles fondamentales des zones sud et l'étude des erreurs systématiques du cercle méridien. Il aidait, en même temps, à la réduction des déclinaisons des étoiles fondamentales, observées de 1864 à 1874, et prenait part, en un mot, au travail général de l'Observatoire.

Tout d'abord il se sentit dans un milieu qui convenait à son esprit, naturellement porte aux études particulières et minutieuses qu'exige l'Astronomie. L'étonnante intensité de travail dont il était capable le rendit bien vite maître des procédés de calcul et des méthodes d'observations. L'étude de la Mécanique céleste et des Mathématiques pures occupait ses moments de liberté. Mais, à mesure que ses recherches personnelles se développaient, Stieltjes prenait de plus en plus conscience de sa vocation exclusive pour les travaux théoriques. L'Astronomie, qu'il avait jusqu'alors regardée comme l'objet de sa vie scientifique, lui apparut insensiblement comme un obstacle au complet développement de ses études préférées.

La nécessité pour son esprit de prendre une décision et l'impossibilité où il était, sans doute, de la prendre conforme à ses goûts, lui fit traverser une sorte de crise de réserve extrême et d'inquiétude, hésitant sur ce qu'il devait faire,

AOTIGE SUR Sl'IELTJES.

parlant même à ses collègues d'aller vivre pauvrement en Amérique, pour étudier aux côtés de Sylvester.

L'heureux événement de ses fiançailles avec M"* Elisabeth Intveld fit cesser ses hésitations, en ouvrant pour lui une période de bonheur. Ses idées originales se développent et les travaux se succèdent rapidement. L'Académie d'Amsterdam imprime, dans ses Mémoires, son étude sur la formule d'interpolation de Lagrange; nos Comptes rendus insèrent sa démonstration, si intéressante pour nous, des propriétés des polynômes Hansen-Tisserand : Les propositions découvertes par Tisserand étaient cachées; il en a été donné depuis des démonstrations simples; aucune n'est plus ingénieuse que celle de Stieltjes montrant le lien qui rattache cette question à la Lhéorie du potentiel dans un espace à quatre dimensions. Cette démonstration le mit en rapport avec Hermite, et la correspondance que nous publions, M. Baillaud et moi, montre mieux que je ne saurais le dire quelle affinité mathématique ces deux esprits avaient l'un pour l'autre. Ces relations furent l'origine d'une commune amitié, très chère des deux côtés.

Le i"'' janvier i883, son directeur, qui connaissait toute sa valeur, le dispensa, sur sa demande, des observations. 11 s'occupa, chez lui, de la réduction des observations de la différence de longitude Leyde-Greenwich, et commença même la réduction de ses propres observations. De septembre à décembre i883, il suppléa van den Berg à l'Ecole Polytechnique de Delft. Enfin, le i"' décembre (883, il donna sa démission d'astronome à l'Observatoire.

11 était désormais tout aux Mathématiques.

Les études qu'il fit pendant ce séjour de six années à

KOTIHR SUS STIET

l'Observatoire semblent avoir exercé une influence prépondérante sur la formation de son esprit. Il y puisa cet attrait pour l'examen approfondi des questions particulières, cette habileté dans le maniement des formules algébriques et leur adaptation au calcul numérique et l'art même de ce calcul qui se manifestent dans tous ses travaux. Il pritThabitude de contrôler ses inductions par de nombreux exemples, développés à fond, poussant parfois très loin et comme avec amour les calculs numériques. Cette méthode de recherche, que nous admirons chez Gauss, est d'une singulière puissance quand celui qui l'emploie est assez clairvoyant pour démêler les lois générales à travers les particularités de l'exemple. Elle semble avoir été, chez Slieltjes, le nerf de la découverte. On peut dire, sans exagération je crois, que toutes les vérités analytiques qu'il a fait connaître ont été découvertes avant d'être démoiitrées. Une démonstration rigoureuse de la vérité, ainsi révélée par l'expérience, est le complément nécessaire d'une telle méthode : Stieltjes ne l'a jamais oublié. Son esprit si fin et si perspicace dans l'invention ne l'était pas moins dans l'examen de la rigueur d'une démonstration. Maints passages des lettres à Hermite montrent quels étaient ses scrupules et ses exigences en ces matières. Ses conversations faisaient deviner le grand nombre des phénomènes mathématiques intéressants qu'avaient mis en lumière ses patients calculs. Ne possédant pas de démonstration rigoureuse, mais seulement la conviction morale de leur généralité, il ne les publiait pas. Il les conservait cependant, soigneusement annotés . Cette réserve laisse soupçonner les richesses contenues dans les papiers qu'il a laissés.

Cette méthode, qui implique un labeur énorme, a imprimé

aux travaux de Stieltjes le cachet qui leur est propre. On a, en les lisant, l'impression qu'on arrive, sans grand appareil de formules et comme par le seul effort de la pensée, par la voie la plus simple, à des propositions cachées.

Marié depuis le mois de mai i883 à une femme digne de lui, stimulé par l'appui et les conseils d'Hermite, tout à ses études favorites, son activité durant les années r883, 1884, i885 fut considérable. Les conceptions ingénieuses et les idées neuves, germes des travaux qu'il aurait achevés sans sa mort prématurée, se multiplient. Ses belles recherches sur les résidus cubiques et biquadratiques, sur la décomposition d'un nombre en cinq carrés, sur la densité intérieure de la Terre et le commencement de ses études sur les quadratures mécaniques et les fractions continues algébriques datent de cette époque. Ces travaux lui font conférer le grade de docteur, honoris causa, de l'Université de Leyde. L'Académie d'Amsterdam lui ouvre ses portes.

Présenté en première ligne pour la chaire de calcul inlinitésimal de Groningue, il n'est cependant pas nommé. Avec sa modestie extrême, il écrit à Hermite qu'il n'avait peutêtre pas les grades nécessaires. Il sentit pourtant très vivement cet échec. La décision de son caractère lui fît prendre, non sans quelque peine sans doute, le parti de quitter la Hollande où tant de liens, cependant, le retenaient. Il vint s'installer à Paris au mois d'avril [885.

Devons-nous déplorer cet échec, malgré ce que nous en pouvons penser? Il nous a donné Stieltjes et contribué ainsi à l'honneur de la science française de notre époque.

A Paris, il commence, en vue d'une thèse, l'élude de la fonction '(,{s) de Riemann, puis, sans en donner les motifs.

l'abandonne, malgré l'importance des résuftats obtenus. Quelques points restaient-ils dans l'ombre ou sans démonstration rigoureuse? Etait-ce plutôt la conséquence de l'opinion qu'il me communiqua un jour : Qu'en admettant même l'exactitude de tous les résultats énoncés par Riemann, on ne pouvait conclure de son Mémoire rien de définitif sur la distribution des nombres premiers,

11 fut reçu docteur en juin 1886 avec une thèse remarquable sur les séries semi-convergentes (de la nature de la série de Stirling), puis chargé de cours, ia même année, à l'Université de Toulouse et nommé titulaire trois ans après.

A la Faculté des sciences, Stieltjes fut chargé du cours de Calcul différentiel et intégral, succédant dans ces fonctions à MM. Picard, Goursat et Kœnigs. Un peu gêné au début par la langue, il se montra vite professeur éminent. Ses cours possédaient les qualités de ses mémoires. Une grande clarté, reflet de sa lucidité d'esprit, lui permettait d'exposer simplement les théories difficiles. Des exemples nombreux, très instructifs, ayant toujours de la portée, faisaient pénétrer dans l'esprit de ses auditeurs, presque à leur insu, les notions les plus délicates. On sortait de ses leçons étonné de ia facilité d'acquisition des méthodes générales, émerveillé de leur fécondité et avec le sentiment que l'art consistait plus à les bien appliquer qu'à les comprendre. Je n'ai jamais connu de professeur donnant, autant que lui, à ses élèves, conscience de la puissance des instruments qu'il leur mettait en mains. Ce penchant à toujours faire comprendre les théories par leurs usages, n'excluait pas chez lui la rigueur, dont il avait le plus scrupuleux souci. Mais il savait admirablement distinguer ce qu'on devait enseigner, de c^ qu'on pouvait seulement signaler.

Chargé également de faire des conférences aux candidats à l'agrégation, il put y déployer plus librenient sa science. Je me souviens notamment de deux de ces cours : l'un eut pour objet la théorie des fonctions de variables imaginaires. Ilmontra comment les deux voies suivies par M, Méray et Weierstrass. d'une part, par Riemann d'autre part, aboutissent au même point. Dans l'autre, il exposa la théorie des fonctions elliptiques. Il suivit, dans ses détails, une idée ingénieuse de Riemann, consistant à étudier d'abord, et indépendamment, les intégrales elliptiques et les fonctions thêta, et à montrer ensuite qu'en remplaçant l'argument de la fonction thêta par l'intégrale on obtient une fonction algébrique. L'inversion est ainsi effectuée.

Ses devoirs de professeur n'absorbaient pas tout son temps. Les mémoires sur les fonctions sphériques et les polynômes de Legendre.la fonction gamma et l'équation d'Euler, les soins pieux qu'il apporta à l'étude extra ordinairement difficile des fragments du troisième Volume du Traité des fonctions elliptiques d'Halphen, sont la preuve de son infatigable activité. Elle se manifeste encore mieux dans la promptitude de ses réponses aux difficultés que lui signalait Hermite, dont les questions et les réflexions suggestives provoquaient ses recherches. Mais déjà, à cette époque, le principal sujet de ses méditations fut les fractions continues. Frappé, dès 1884, en étudiant la méthode de quadrature de Gauss, de l'étrange identité d'une intégrale définie et d'un type spécial de fractions continues, il chercha pendant dix ans à mettre en pleine lumière la généralité de ce fait. Le résultat de ses efforts fut le très beau mémoire qu'il ^onna en 1894, peu de temps avant sa mort.

Au mois d'octobre iSçjo, il sentit s'aggraver les symp-

NOTICB SUn STIELTJES. \IX

tomes, tout d'abord anodins, du mal qui devait l'emporter. Les fatigues du travail excessif et incessant qu'il s'était imposé depuis i883 en précipitèrent les progrès. Ni les soins affectueux dont l'entouraient les siens, ni les facilités de repos et de bien-être que lui procurèrent ses amis et ses collègues ne purent enrayer la marche de la maladie. Sur les conseils d'Hermite, il passa en Algérie les hivers de 1892 et de 1893. Pendant son dernier séjour, il trouva la solution de la difficulté qui arrêtait depuis si longtemps l'achèvement de ses recherches sur les fractions continues. Il découvrit un théorème remarquable lui permettant d'effectuer la continuation analytique de sa fraction continue dans tout le plan. La joie qu'il en ressentit lui donna pour quelques mois des forces nouvelles. La sollicitude d'Hermite durant sa maladie fut admirable. Elle le suivit jusqu'à la lîn, veillant sur lui et sur son repos, pleine de délicates attentions, Stieltjes le sentait. Le prix qu'il attachait à ses lettres, le soin avec lequel il les avait conservées et classées montrent bien qu'elles étaient, à ses yeux, une partie de son bonheur et de sa vie. Il lutta quatre ans. Il se savait perdu. Il attendit sa fin avec la liberté d'esprit et de pensées, avec la fermeté de cœur qu'il avait montrées dans les circonstances difficiles de sa vie. Par un effort de volonté que peuvent seuls comprendre ceux qui l'ont vu à cette époque, il trouva la force de rédiger, quelques mois avant sa mort, son mémoire sur les fractions continues, avec une hâte désolante pour ses amis, qui en voyaient, hélas! bien la cause. Il mourut le 3î décembre 1894-

Les honneurs que lui réservait l'avenir étaient déjà venus le trouver. L'Académie des Sciences, en 1892, le porta sur ia liste des candidats au fauteuil d'Ossian Bonnet; en 1893,

XX NOXIHE I

elle lui décerna le prix Petit d'Oriiioy. Le rapport élog'ieux de M. Poincaré sur son dernier mémoire présenté pour le prix Lecomte montre bien l'admiration que le monde savant avait pour ses travaux. L'Académie de Saint-Pétersbourg l'avait nommé son correspondant.

Ses élèves et ses amis connaissaient son empressement à rendre service et sa libéralité à les faire profiter de sa science si vaste et de son érudition si sûre. Très exigeant pour luimême, il jugeait librement les travaux des autres, aussi joyeux de leurs découvertes que modeste vis-à-vis des siennes. Ses jugements, sévères quelquefois, n'ont jamais blessé, sa bonté s'efForçant toujours de trouver quelque excuse aux faiblesses et aux erreurs, 11 exécutait avec une volonté inflexible les décisions que lui dictait sa droiture. A la fois très ferme et très doux, personne ne sut, au même degré que lui, conformer sa conduite à ses principes.

Ceux qui l'ont connu et aimé, devinant sous sa réserve naturelle cette réunion, chose rare! des qualités du cœur, du caractère et de l'esprit, ne l'oublieront jamais!

C'est sur le désir même d'Hermite que nous publions cette correspondance. Elle montre l'affectueuse bonté d'Hermite et son amour profond de la science, en même temps que toute la dignité de la vie et le rare talent de Stieltjes. Puissent ses amis y retrouver un peu la douceur et le charme de cette nature d'élite que la mort a si prématurément anéantie !

Hekry BOURGET.

yGoosle

Nous avons oublié d'iiidiquei- par une lijçnc ik points quelques-unes des ;ou|nires que nous avons dû faire. Le lecteui' est prié de rétablir cette indication aux passages suivants :

s 1. Vous lu s << Je dois

4 ei

ntre

, <[ et dans

Te

spé.ar

i intérêts s

■e il

faul

;, pi

(«e -Il

.0, lisn<

supprimer

les

points au déliul

phi

DIIERMITE ET DE STIELTJES.