STIELTJES A UERMITE

Lcyde, i5 janvier i884.

MoKSIEUK,

Je vous ai communiqué, il y a quelque temps, les sommes de

en supposauL, dans la première, /i^i,3,5, dans la seconde, 7i ^ 3, 5, 7 (modS), J'ai enfin réussi à combler la lacune qui se montre ici, et à sommer la première série encore dans le cas " ^ 7 , la seconde, dans le cas H^ I (modS).

Je vais rapporter les formules générales qui supposent seulement que ti est impair. Prenons toujours F(w) dans le sens de M. Kvo-

necker[en S' de plus

^sansexceptionY{l\n)= iY(n)\ et posons

la sommalion ayant rapport à toutes les solutions de

œ étant positif, y positif, nul ou négatif, mais inférieur en valeur absolue à-^ (ou, ce qui revient au même, 2 y--<n, ou encore ir-<C 3 n). S'il n'y a pas de relation de cette (façon) sorte, il faut prendre x(") = ^ ! '^'^^* ^^ 1"* ^ ^'^" toujours quand R est = 3 ou ^ 5 (mod 8), mais encore en d'autres cas. Cela posé, on a les relations suivantes :

yGoosle

LEirRiî 43. 83

Considérons encore les solutions de n^ x'^ ^ 2y''' ; mais, cette fois, prenons y positif, x positif on négatif et d'ailleurs, coinme précédemment, en valeur absolue, y <; - et posons

Alors on a les deux formules suivantes dans lesquelles n est toiijours impair,

L'intérêt principal de ces nouvelles relations me paraît consister dans l'introduction de ces fonctions ^(n),^,{«) qui dépendent de la représentation de n parla forme d'un déterminant ^ojiVi/" a;* — aj)'* avec cette limitation aval. abs. ^y <^ val. abs, x. 11 me semble en effet que cette circonstance sera la source de très grandes difficultés si l'on (voudra) veut entreprendre de retrotiver ces formules par l'analyse des fonctions elliptiques ou, du moins, par des développements analogue s. Je ne crois pas qu'on ait jamais vu s'introduire, dans ces calculs, des formes d'un déterminant positif tel que x^ — ay".

Comme un exemple plus simple, j'ai, maintes fois, tâché, mais toujoiirs sans succès, de démontrer par l'analyse seiile cette formule

qui exprime ce théorème connu que le nombre k des solutions de

n — w'^ — 'xy', Il impair, x impair, aa;>3 K£(j

est égal au nombre des diviseurs de n compris dans la forme 8/' àz i moins (minus) le nombre des antres diviseurs 8r ± 3. Et, avant moi, M. Heine n'a pas été plus heureux, comme il le dit dans son Traité des fonctions sphériqaes {i* édition, t. I, p. lia).

84 CORRESPOKDANCE D'HERMrTE ET DE STIEITJES.

En prenant successivement a: ^ i , 3, 5, . . ., on a

-1- 5iB'(( -^^ y-'-i-l- ^-î-'+ y-ï■s^-^-5■'C-

Maislacondilion2a:]>3^^odonne dans le second membre iineloJ un peu compliquée, J'ai remarqué, toutefois, gue celte expression est susceptible d'une transformation élégante. En effet, je trouve que le nombre des sohitions de n=^ x^ — aj^, x'>iy^o est égal à - ou à —7— selon que k est pair ou impair. On aura donc

^22 *'^'""" ~22 ^■''"''"' =?' + ?'-!- î^^^- - ■ parce que k est seulement impair quand n est un carré. Or on a

Le second membre rappelle bien, de loin, les développements

que V

s avez rencontrés dans vos recherches sur les théorèmes d

M. Kronecker; mais je n'ai pu prouver par l'analyse l'égalité de

ce second membre à — - — , H — - +. . .. Or il me semble que la

démonstration analytique des relations (X), . . ., {(©) sera difficile à

LETTBE 45. 85

phis forte raison nt je ne (me) hasarderai pasàl'enlreprendre après mon insuccès dans la question plus simple dont je viens de parler. La formule (^l.) par exemple revient à cette identité

Je prévois déjà que les formules données par M. Liouvilie, dans lesquelles la série des déterminants est — (n — 3 r^), ne forment que les cas les plus simples; pour avoir des formules plus générales il faudra des fonctions analogues à ^ et qui dépendront des solutions den = œ'^ — iy'^ et n^:: x*+ 3y*. J'espère aussi que je pourrai maintenant compléter le système des relations données dans ma Note sur le théorème de M. Liouvilie, et je me propose de présenter alors ces formules à l'Académie.

On m'a offert, il j a quelques jours, un professorat d'Analyse (Calcul différentiel et intégral) à l'Université de Groningue. J'ai accepté cette offre et je crois qiie cette position me permettra d'être plus utile. Je dois beaucoup, dans celle circonstance, à l'extrême bienveillance de mon ancien chef M. Bakhuyzen, le direc teur de l'observatoire. Un de ces jours, ma nomination définitive arrivera. Mais vous comprendrez bien que ce changement entraine pour moi des distractions qui m'éloigneronl de l'étude dans les premiers mois à venir.

Agréez, je vous prie, Monsieur, l'assurance des sentiments res pectuenx de voti-e serviteur dévoué.

P. S. — Je viens de recevoir votre lettre qui me fait une impression pénible en me portant la nouvelle du deuil de famille qui vient de nouveau vous frapper.

Acceptez mes remercîments pour vos renseignements précieux sur les Mémoires de M. Smith. Je me propose, dès que j'aurai

le loisir, el ce sera, j'espère, dans les vacances de l'été prochain, de faire «ne étude sérieuse de ces théories. Peut-êti-e aussi, alors, les Mémoires couronnés par l'Académie auront paru. Je ne doute point que la relation entre F{np^'') et F{rt), comme celles entre F(/i.4*)et F (m) ne soient (seront) contenues dans les résultats de M. Smith et je me promets beaucoup de satisfaction à voir comme cela découle de ses théories si belles et si importantes. Quant à la formule

F(„p..)-j,-.*[,^(=^)]„-.-H...+ .)JF(,0,

elle est une conséquence facile des résultats de Gauss { Disq . Arilh., art, 253-2o6) retrouvés et complétés plus lard par Dirichlet. La recherche de (jauss est une application de sa théorie de la composition des formes quadratiques; ses résnltats ont été démontrés aussi d'une manière très belle et très simple par M. Lipschitz {Joiirn , de Borch., t. LIII, p. aSS-aSg) qui se fonde sur l'étude des substitutions linéaires de déterminant y> qui transforment directement une forme quadratique d'un déterminant ii en une autre de déterminant iip^.

Nommons H (n) le nombre des classes proprement primitives de déterminant — ■ n ; alors

seulement, lorsque ;i^=i, ii faut prendre la moitié du second membre. Et, de plus,

si l'on prend pour d tous les diviseurs de n qui sont des carrés impairs. Seulement, lorsqiie n est un carré impair, il faudra retran- ■ cher \ du second membre. Mais, comme, dans ce cas, il j aura un diviseur d^ n, on voit que les denxformiiles(a) et (p) sont vraies sans exception, si l'on convient seulement de prendre H(ï) ^ - au lieu de H(i) = i . En supposant maintenant que n n'est pas divisible par /j*, vous trouverez sans difficulté que les équations (a) et { p) donnent ce théorème : F{ft/>^*) ^ . . . etc. L'équation (a), du reste, ne suppose point cette restriction que n doit être divisible

par/)-. En effeL, l'étfnaLion (a) donne

2''(^)^''*-(^)HI"(:j)K''-(^)H''">'

de mè me

Ih(^>[.--(=^>'-]p<»,,

eLl'addilîon donne la formule voulue par une nouvelle applicaLÎon

de(P).