STIELTJES A HËBMITE

Leyde, 4 janvier 188^.

MoHSIEUR,

J'avais bien remarqué que la première de vos deux formidcs

ia) y-H4<?'-H99»+i6?i"+...

suffit pour établir la plupart des relations entre Â(n) et B(n) que j'ai rencontrées; mais il n'est pas possible de les établir toutes de cette façon. En réfléchissant sur cet objet, j'ai éprouvé une vive satisfaction en voyant que les deux formules [a) et (é) ensemble contiennent en effet, en germe, toutes ces relations. L'intérêt que vous avez bien voulu montrer pour ces relations me fait espérer qu'il me sera permis d'entrer là-dessus dans quelques détails. En désignant par/(/i) la somme de ces diviseurs de n qui sont divir sibles par la même (plus haute) puissance de 2 que n, par^(«) la somme des diviseurs impairs diminuée de la somme des diviseurs pairs, on a :

hS[g(l)q^ + ^('l)g^ + g{^)q^-

Pour plus grande conformité, faisons

yGoosle

LETTItlî 41. 77

aJors les deux séries seront

et vos deux formules donnent ces relations (A) /u)-V(«-''>

<*) ,[.(ii--^)...(ii^>.(==£).....].o,o..,.;

la seconde valeur a lieu seulement quand n est un carre.

Ces deux relations donnent, en effet, toutes les formales de ma lettre précédente. Soit, comme autrefois, tp(«) la somme des diviseurs impairs de n et supposons n = p.^nî, m étant impair. On a évidemment

d'où

et si nous nrenons, comme autrefois, (d(o) ^= — . celte relation

reste encore vraie poitr « ^ o.

Rappelons maintenant les définitions de A(/j), B(») :

A(«)-î(») + ao(»-i'l^ït(n -!■) + ...

B(») = .(n-i = )-ho(»-3')^...

et posons, de plus,

'•-■ <»■>'"'> "'("''"[^(-"^-V^Ct^') "■■■■]

[B-(,.) = ooa »],

j8 CORRESPONDANCE d'HERHITE ËT DE STIELTJES.

Je vais maintenant déduire les formnles relatives au cas où l'aigument n est de la fonne i^m, m^ i (modS),

Posons d'abord n = m dans (A.) eL («h). La première qui s'écii

A'(«|-^B'(«) = o ou (-,)n~ht donne, n étant impair et par conséquent A!(n) =; A{/i), (3) A(»0-2B'(m| = o on -m.

Mais on a évidemment

et la formule (il!>) donne

B-,„.,^4.(^'),..(^>-...]^o ou „,. Donc, à cause de (i),

En retranchant donc h"{m) des deux membres de (3). le seeonc membre devient toujours égal à zéro, et nous trouvons :

A(m)==2jB(m), m =^ i (modS).

Une application réitérée de

donne

-^a[4*B'(«.) + -l*-'B'(4"0-H..-+4B'(4*-im)l (Jcli).

D'après (X) et (il!>), le premier membre est égal à

lin ajoutant donc des denx côtés 4*B"('") cl observant f|ne

iB'(»i) + B-(m) = «4B(m),

on obtient :

B'(/|»™)„4'..i(B(m)H-[4«-iB'((».)+,.,H-4B-((*-im)]

ieii, pa:

rce que pour /. pair B'(n) ^ B{/i).

B(Cm B(4-».

) = 4'.î4 B(m) -!- 4îB(4ni) +4B{4''«),

+ 4Ba'™),

B(4sm)= 8B(4!m),

Bf4'm)- 8B(43nt),

el. ces relations jointes à Â{4rt) ^ A(n) h 3B(7() donnenL immédiatement les formules que j'ai données pour le cas d'un argument de la forme 4*"*, m^i (modS). Les autres cas peuvent être traités d'une manière analogue; mais alors la relation (A) suffit el il n'est pas nécessaire de connaître cette seconde relation ("Uii).

Mais voici, Monsieur, une nouvelle propriété de cette fonction B(n) qui entraîne immédiatement une propriété semblable de la fonction ^{n).

Soit p un nombre premier impair, n un nombre quelconque non divisible par p^. Alors :

OÙ ( - 1 est le sjmbole de Legendre et où il faut prendre ( — j =: o, lorsque n est divisible par/7. Le facteur de B(/i) est

Mais je n'ai pu établir cette formule que très péniblement pour le cas de it = I seulement, et il faudra trouver une autre méthode pour traiter le cas général. Vous trouverez donc, peut-être, que je suis trop hardi à donner déjà la formule générale; mais quelques analogies m'ont guidé et, ayant confirmé cette relation dans plusieurs cas, /:étantégalàa, 3, 4, ■ - ., j'ai une entière confiance dans l'exactitude de cette relation.

0 HEHMLTE ET I)E STIELTJKS.

Comme une conséquence, voici, par exemple, la valeur expticile de ^{n), n étant un carré,

5?(a!Ajo2ay=P;-3ï...)- 10 ^'^].~' PQB..,,

1 carré très grand, on a doj

C'est un peu moindre que la valeur mojenj

Mais, Monsieur, permetlez-moi cette demande : la réduction de S{np^) à S{n) ne se trouvc-t-clle pas dans les Mémoires couronnés par l'Académie l'année passée : Sur la décomposition d'un nombre en cinq carrés? En effet, dans le Mémoire de Dirichlel qui servira pour toujours comme exemple dans ces recherches, les relations analogues ont été déduites des séries infimes qui servent à exprimer le nombre des classes.

Sojez bien remercié, Monsieur, pour les bons vœux que vous avez exprimés à mon égard ; certainement je vous souhaite le même bonheur.

Voire très dévoué.

P. s. — J'ai remarqué une

erreur dans le théorème V de ma

Noie sur un ihéorème de M. Ll

ouvitle : l'expression exacte est

s2(-0^sF(N-

rN = ^ (modS), aN =

^■'-l-jS ^^Z. ' (modr6) 1.

{ ') L'expression donnée dans les Comptes rendus, t. XCVII, p, iJiS, était

82!-,!^.i'(iN-„.,.2;(«--

N s5 (mode),

ic=s=9 (niodiG)!

>-'= L (mod 8)J'

Mo:

- HERMITE A STŒLTJES.

P.,vis, ,i jar

J'étais toviL occupé de votre lettre du 4 janvier el des beaux résultats qu'elle contient, lorsque j'ai été frappé d'un nouveau malheur de famille. Ma belle-mère, après une courte maladie, nous a été enlevée à l'âge de 85 ans et j'ai dû quitter Paris pour me rendre à Bain- de -Bretagne assister à ses obsèques. Je m'empresse, Monsieur, dès mon retour, de vous exprimer mon intérêt le plus vif pour votre analyse extrêmement ingénieuse concernant les fonctions A(«) et B(/i) et aussi pour vous dire que je me proposais d'appeler votre attention sur la fonction F(/î) de M, Kroneclter lorsque m'est parvenue votre carte postale du G janvier ( ' ) et le beau théorème contenu dans l'équation

L'introduction du symbole de Legendre a la plus grande importance à mes yeux; c'est im point qui vous appartient absolument, eljene vois aucunement de quelle manière vous y parvenez. En attendant de connaître la méthode qui vous y a conduit, je réponds autant que possible à votre demande relative aux Mémoires couronnés par l'Académie, sur la décomposition d'un nombre en cinq carrés, en vous mdiquant deux articles de M. Sralth publiés dans les Volumes XIII et XVI des Proceedings of the Royal Society intitulés : On the oràers and gênera of quadratics f omis, containing more than three indelerminates, qui sont le fondement du Mémoire adressé à l'Académie. La comparaison entre les nombres de décomposition en cinq caiTés, pour les entiers n et k^n, nous y a paru implicitement contenue. Son travail et celui de M. Minkowski sont livrés à l'ùnpression et par conséquent ne tarderont pas à paraître {^).

(') Cette carte postali

( = ) Les Jeuï Mémoirt