STIELTJES A HKRMÎTE

MOTVSIEOII,

En rentrant en ville hier soir, j'ai trouvé votre lettre qui m'est bien précieuse.

J'avais réussi, de mon côté, à démontrer les formules trouvées par induction, mais ma démonstration arithmétique ne pouvait se résumer en peu de mots. Votre lettre m'a fait penser de nouveau sur ce sujet; voici comment je crois que l'on peut arriver à mes résultats assez simplement en partani de

! D HERHITE ET I>E STIELTJES.

Soit d'abord n =^p un nombre premier : il s'agit d'évaluer ou Lien, à cause do

fip) -/- -HI, ^-+p=^f(p)f(p)+ 'lf{p^ — -i"-)-\--if(p^—i'-)^...

OU encore

i^-i-p = ^(p)a(p)-i- c:o(p - iy^(p -i- -f.) ^ -xiffp — i)<f(p -i- 4) +.. ..

Ce sont deux formules elliptiques qui mènent au but; en effet, on a (Œuvres de Jacobi, nouveUe édition, t. I, p. 163, 167)

y (n) représentant la somme des cubes de ceux des diviseurs de 11 dont les diviseurs sont impairs.

Or, en élevant au caiTé la formule (i), on voit aussitôt que le coefficient de qP devient

»(i)ç(ai>-i) + <p(3)tf(v-3j+.--+?(i')f(/')+.-.-i-?('P-')?(r)

= çC/-) ^C/»^ -^- îf (/) — 2) ?(/> + 5.) -!-. . . = C'^-/»; donc

■C+/' ---iXP^ =/>'+[ c. a. Y. D.

On peut traiter d'une manière analogue le cas où n est composé . Cela nécessite encore quelques considérations supplémentaires qu i, toutefois, n'offrent point de difficulté.

Voici comment j'avais auparavant traité le cas de la décomposition d'un carré en trois can-és.

Soit

pour un nombre quelconque n, d parcourant les diviseurs impairs

de ft et il- (0) = j ; alors :

yGoosle

LETTRE 'l-O. 91

Il étant un nomtire de la forme 8^ + 1, ctF(/i) la funclion de M. Ki-onecker. Si l'on considère I2F(«) comme représentanl le nombre des représentations de n par x'^-\-y--\-z-, on peui obtenir cette expression à l'aide des considérations les pins élémentaires. Maintenant on a

Donc ou bien, en changeant q f.n ~~ q.

En posant donc, pour un nombre ^ [ (modS),

=42'- '>^ Ht^) " ''2<- '''"^ *'" - ■■'■

on aura, lorsf|ue n n'est pas un carré, (0) G(„)"0

Cl lorsque ti est un carre

Les forniides (a) et (6) donnent maintenant

1 F(n)+iG(«)-4y'i("-(=) ('-.,7. y. '^ ■■■). id)\ ' ^

\ F(H)-^G(,<)^42'^('^-'*') (« = 3,5, Ji,î3, .,.).

Ce sont ces formules (d) qui donnent, par une discussion facile, la valeur de F(«) lorsque /î est un carré impair quelconque.

Soit, pour considérer seulement le cas le plus simple, 11 ^p-^, p étant on nombre premier ^i (modS). Alors la seconde des

92 CORRESPONDANCE D HERBITE ET DE STIELTJES.

é(.|uat)ons {d) donne, en faisant attention aux valeurs (c),

F(/>^*)-i/'*=42^'-P''-""^ (« = 3,5, II, ...). Considérons un terme quelconque

et supposons

a = p'-u', si<r <k,

u! n'étant point divisible par/>; alors

Or, /j*~'' est ^î 1 et u' est ^ ih iï (modS); donc nn des nombres />*~'"± (/ est ^6 (modS), et par conséqiienl

4,^^!*„!) = o et Y{p^i^) = \p". En supposant

p\,pî, ■■• étant des nombres premiers ^i(mod4), Ç\,</2, ■■■ étant des nombres premiers ^ 3 (mod4), on trouve que le nombre des représentations de n^ par w- +y^ + s^ est égal à

Probablement on pourra aussi an-iver à ce résultat en suivant un chemin analogue à celui (celle) qui m'a conduit jili's baut au nombre des décompositions en cinq carrés; mais le temps me manque en ce moment pour vérifier cela. Je suis très intéressé à voir la démonstration de M. Hurwitz, qui certainement ne m'est point (connu) inconnu, parce que, en voulant étudier les Mémoires de M. Gierster, j'ai dû recourir à un beau Mémoire de M. Hiirwitz intitulé : Fondements d'une théorie indépendante de la théorie des fonctions modulaires.

Lorsque j'étais engagé dans ces reclicrcbes, j'ai aussi considéré la décomposition en sept carrés. On a, dans ce cas encore, des formules entièrement analogues; l'analogie est plus grande avec la décomposition en trois carrés qu'avec la décomposition en

LETTRE iS. 93

cinq carrés. Mais je n'ai point mené à fin ces recherches, et aussi je n'avais point encore trouvé une méthode pour déduire mes formules de la théorie des fonctions elliptiques.

Peut-être vous trouverez intéressante celte remarque, que j'ai faite à l'occasion de cette relation

qu'on a des relations analogui 6, . . . carrés. En effet, vous /■ = 2, 4,6, ...,

A ^ p'-r-ltf: + pir-îKk^l) ,

;s pour la décomposition en 2, 4; verrez aisément que l'on a, pour

('4^)bJ.„(»,,

la valeur du sjmhole de Legendre l — — J étant ±1 ou o

lorsque n est divisible par/) (mais non par /)^).

^^(1) est le nombre des solutions Ae n^^:x:^, + x'^^ + . . .-\- x'f.

De même, on a pour r^ 3, 5, 7, . . .

mais je n'ai démontré cela, dans les cas r^ 3, 5, 7, que dans quelques cas particuliers.

L'expression de é[n) fournie par les fonctions elliptiques est

\-^(-')^ds

(;? parcourant les diviseurs impairs de n; i! est facile, d'après cela, de vérifier la relation donnée plus haut.

Mais, dans ces derniers temps, j'ai abandonné ces recherches parce que je veux étudier d'abord les théories de M. Smith ; or, les Mémoires que vous avez bien voulu m'îndiquer manquent dans la

94 CORRESPOHDANGE D HERMITE ET DS STIHLTJES.

bibliothèque de l'Université, en sorte que je dois attendre la jjublicalîoo de votre Académie,

J'aurais encore à vous dire bien des choses concernant votre lettre; mais le temps me manqiie et je dois finir cette !ctti-e déjà longue.

Croyez-moi toujoursj avec le pins profond respect, votre très dévoué .