HERMITE A STJELTJES

Vos théorèmes sur la décomposition des nombre coni.eniis dans les équations

sont entièrement nouveaux et extrêmement beaux et je viens vous demander l'autorisation de les communiquer à l'Académie en publiant votre lettre du 8 dans les Comptes rendus ('). Peut-être en prendrai-je occasion pour y ajouter quelques remarques concernant votre expression de la fonction F(«) de M. Kronecker par la formule

que vous tirez sans doute du développement

TT it ~ I — -7 i — q>

en supposant je =^ y Le premier nombre devient, en effet, — E-7— k' ^t le développement de la quantité tj^Oi conduit précisément à F(4"-l-2)- Il ne me semble pas inutile de remarquer que votre résultat est d'une autre nature que ceux qu'on tire immédia-

(') La lettre du 8 mars manque. Elle constitue, sans doute, la Communica lion insérée aux Comptes rendus : Sur quelques applications arithmétique de la théorie des fonctions elliptiques { Comptes rendus, t. XCVIII, p. 663

LETTBE 46. gS

Lement des théorèmes A, B, C de M. Kronecker et qui dépendent de la fonction plus élémentaire/(/i) donnant le nombre des solutions de l'équation x"^ -\- y^^ m.

On trouve aisément

puis encore

mais ces formules ne sont point les seules à s'offrir. Désignez par g{n) la fonction ainsi définie :

en désignant par d tous les diviseurs de n, moindres fjiic <ijn cl supposant /i^ 3{mod4); vous aurez.

h =o,±'2,±4,±:6, . ., Soit ensuite^) {«) une fonction relative à un nombre pair, à savoir :

OÙ d représente tous les diviseurs impairs de 7?,, moindres que \/n et d' tous les diviseurs impairs, plus grands que \Jn, on a :

avec la condition de prendre c ^ n(mod2).

gb CORRESPONDANCE D HERMITE ET I>E STIELTJES.

La difficulté est de reconnaître de quelle manière se ramènent les unes aux autres des expressions si diverses; n'ajanl aucun espoir de la surmonter, je me résigne, Monsieur, à interroger les formules elliptiques de diverses catégories, en demandant à chacune son secret arithmétique, et à recueillir les réponses utiles ou inutiles avec patience et persévérance ; plus laboris guam artis. Mais voici mes leçons qiii arrivent, avec les examens de la Sorbonne, et, comme vous, il me faut faire la part aux devoirs et aux obligations de l'enseignement. Non sans regret, je m'arracherai aux formules suivantes qui m'ont coulé bien des efforts et dont je ne désespère point d'obtenir quelques résultats. Soit toujours a ^: i , 3, 5, . . .;

V 71 ; ^(i-y^-)^"' ^ i-g" ' puis, en faisant c^^i,a,3, . . ..

Permettez-moi, Monsieur, de vous demander s'il vous conviendrait d'appartenir à la Société mathématique de France; le règlement de la Société, qui impose aux membres étrangers la même cotisalion annuelle de 20'''' qu'aux Membres nationaux, et un droit de lo'''' pour délivrance du diplôme, ne me permet point, sans avoir obtenu votre consentement, de votis proposer au choix de mes confrères qui, j'en suis assuré, vous accueilleront avec la plus grande sympathie.

Receve?^, Monsieur, la nouvelle assurance de ma plus haute estime et de mes sentiments bien dévoués.