STIELTJES A HERMITE

MOKS.KUR,

Permettez-moi de vous communiquer le rcsidtal d'une recherche que j'avais projetée depuis longtemps, mais que je n'ai exécutée que dans ces derniers jours. Le résultat simple auquel j'arrive, c'est que la quadrature de Gauss

s'applique avec une approximation indéfinie (en augmentant n) à toute fonction intégrablc.

Supposons ic, < a^a <; . . . <; .r„ ; on sait que A,-i-A3H-...+ A„=2 el mon résultat est une conséquence immédiate de la définition d'une intégrale définie et des inégalités suivantes dont j'ai vériiié la justesse ;

— 1 + Ai<3^s<— i-^A|+ Aï, — 1-1- A,-i- Ai<3?3<— i-t-A, + As-H A,,

J'ai supposé n assez grand : alors on peut vérifier ces inégalités pour celles (ceux) des racines Xk qui ne sont pas proches des limites dr i , à l'aide des valeurs approchées des x/,, A^ qu'on obtient sans difficulté. Toiitefois il est un peu pénible d'obtenir les A^ avec une approximation suffisante.

Ensuite, j'ai considéré les racines extrêmes qui diffèrent peu de ± I et j'arrive aux formules suivantes.

Soient/,, ^jijfai . . . , les racines de

LETTRE Us. 99

rangées dans leur ordre naturel de grandeur (on a à peu près yi,=^— — "~ ■ ^ lorsque k est grand; cela donne j', = 1,3879 ... au Heu de !,445S....

Alors on obtient les plus grandes racines de X,y:=o, iCi > ^2 > ^3 ■ ■ ■ «1 substituant y, , y-^, y^, ... au lieu de / dans l'expression

Sy 3« ^v

(în + ii' (j,.H-i)' (a,.^0'

""B^ + B^-'+ïsJ"'

Par exempte, on troiivera œ, par

Pour n ;= a, l'erreur restante est 0,000046.

Pour H = 3, elle eslo,ooooo4; pour de plus grandes valeurs de n elle devient insensible sur les six premiers, chiffres.

Je développe une expression analogue poiir obtenir les coefficients correspondants ÂiAoA, , . . dont je n'écris ici que le premier terme

La vérification des inégalités données plus haut conduit alors à celles-ci qui ont effectivement lieu :

Une légère indisposition m'a obligé d'abandonner l'Arithmétique pour quelque temps ; mais maintenant j'éprouve de nouveau l'attrait de ces études; toutefois je ne pourrai faire beaucoup faute de loisir.

En vous souhaitant un sort plus heureux, Monsieur, je (me) signe votre très dévoué.

CORRESPONDANCE R IIERUITE ET DE STIELT3ES.

- HERMITE A STIELTJES.

MOKSIEUII,

Votre lettre m'a vivement intéressé par les beaux résultats qu'elle contient; elle ajoute encore, s'il est possible, à mes sentiments de haute estime et de sympathie pour votre beau talent. J'ai eu dernièrement l'occasion, que j'ai mise à profit, d'exprimer ces sentiments à votre compatriote M. Bierens de Haan, venu, comme moi, à Edimbourg pour assister aux fêtes du cinquième centenaire de l'Université, et M. Picard qui m'accompagnait a fait de même de son propre mouvement. Ce me serait une vive satisfaction si le témoignage de mon opinion sur votre mérite scientifique pouvait vous servir en quelque chose et contribuer à vous faire obtenir une situation digne de vous et qui vous pennît de vous livrer en entier aux recherches que vous avez entreprises. Permettez-moi, Monsieur, de vous prier de disposer de moi, si vous en avez l'occasion : je ne puis douter que mon confrère et ami M. Tisserand ne s'empresse, à ma demande, de joindre son témoignage d'astronome et de géomètre au mien. La publication, dans les Comptes rendus, des résultats de vos ti-avaux, pouvant ne pas être intitile pour appeler sur vous l'attention, je viens vous demander s'il vous convient que je présente à l'Académie votre Communication du 28 avril et, en attendant votre décision, je me permets une remarque au sujet de l'équation

Si vous faites ^j' =: ( - 1 vous avez la fonction de Bessel qui joue un si grand rôle dans la théorie de la chaleur et autres applications physiques. Or, l'équation dont vous obtenez les racines par la formule approchée

a été l'objet dos recherches d'un géomètre exlrêmem

LEITRR 50, lOI

M. Boussinesq, qin obtient l'cx|ircssion

C'est clans les Comptes rendus, t. LXXII, p. 48o, que vous trouverez l'exposé de ses recherches sur ce sujet, qui a longuement occupé M. de Saint-Venant ; ne jugeriez-vous pas à propos d'en prendre connaissance et de le citer en le rapprochant des vôtres?

La liaison que vous avez découverte, liaison cachée et qui m'échappe entièrement entre les racines de l'équation de Bessel et l'équation X„:=:o, me semble on ne peut plus intéressante, ainsi que votre expression des coefficients A par la formule

.y[F'(j)J= (2" + i)=' Vous avez indiqué trop succinctement votre poini. fondamental, que l'extension à une fonction intégrable de la formule d'approximation de Gauss est une conséquence immédiate des inégalités

— i<3;i< — n-A,, ~r-(-Ai<ic5< — i-i-A,-hAî, ....

Pins de détails ne me sembleraient point superflus si vous devez publier la lettre que vous m'avez adressée, et il vous serait facile, dans ce cas, d'y joindre une addition qiiî serait mise à ia place convenable.

En remettant l'Arithmétique à une prochaine lettre et attendant votre réponse, je vous renouvelle. Monsieur, avec tous mes vœux pour vous, l'assurance de ma plus haute estime et de mes sentiments bien dévoués.

MOK!