STIELTJES A HERMITE

Lcydc, 3 Ti

Je viens répondre à votre lettre pleine de bonté par quelques développements sur la question que j'avais agitée. Ces développements sont probablement trop étendus pour permettre de les publier dans les Comples rendus. Je composerais cependant avec

102 COmiEBPONDANCE D HER«ITE ET DE STIELTJES.

plaisir une rédaction pour quelque Journal et je demande votre conseil sur un choix.

Comme vous verrez, la manière dont je traite maintenant la question n'a rien de commun avec celle que j'ai décrite succinctement dans ma lettre précédente. Elle est infiniment plus simple.

J'ai toujours été frappé par cette circonstance que, tandis que la définition même d'une intégrale définie

(A) J G{x)dx = ]im[5,G{U)^5,Ga,) + ...^Z„Ga,)]

permet toujours de calculer sa valeur avec une approximation indéfinie, cela n'était point du tout démontré si, en appliquant une quadrature mécanique, on calcule

(B) AiG(3!i) + A2G(37s)-l-...-l-A.„G(a?„).

Si l'on prend, avec Nevïton et Cotes, les x,, x^, . .., œ„ eu progression arithmétique, les A„ ne sont pas toujours positifs (comme on le voit par les valeurs calculées par Cotes et reproduites dans le Mémoire de Gauss), et cette circonstance m'a fait croire qu'il y a bien peu d'espérance d'arriver, dans ce cas, à un résultat simple. [Toutefois je n'ai pas cherciié si, peut-être aussi dans ce cas, les Ar ne finissent pas par (de) devenir tous positifs, n augmentant.]

Mais, dans la quadrature de Gauss, les Â^ sont tous positifs, en sorte qu'on est porté naturellement à chercher si l'expression (B) ne rentre pas dans celle qui figure au second membre de (A) en prenant, comme il est permis de le faire (en effet A, -|-Âs + - . . + A„ = 6 -,«) S,==Â|, Sa^A^, ..., S„= A,,i. Mais, pour que celte identification soit possible, ou devra avoir

« < ^, < « -I- Al < iCa < a + A| + As < . . ,

inégalités qui expriment que x, a^j, . . ., x„ sont compris dans les intervalles choisis.

C'est ce qui a lieu, en effet, et ce que j'avais vérifié d'abord d'une manière fort pénible en me servant d'expressions approchées des Xr et des A^, en supposant n très grand.

Je vais établir maintenant une proposition plus générale : Soity(.«) une fonction qui reste constamment positive dans 1 intervalle a — b.

On sait qu'on pent déterminer n constantes œ,, x^, ■ ■ -, ■^n et« autres constantes A(, Ai, . . ., A„ de manière que l'on ait

J fiw) G{x) dx = A, /(^i ) 4- A,/(^5) -H- - - + A„/(37.)

toutes les fois que G(x) est nn polynôme en x du degré '211 — a,, plus.

Les Aft sont tous positifs : c'est ce que l'on voit en prenant

cela donne

)(ic = AtG(37(.).

Les Ai étant positifs et

on pourra déterminer « — 1 constantes j', , j'a, ..., j'^-i de manière que

«<ri<j2<-.-<r^--i<*

A,=y '/(c^)dx, \,^J 'f{w)dx,

'\.= pf{^)dT ^"-'=J " V(^)''^-

On nnra alors aussi

A„=y" f{,x)dx.

Je dis maintenant, et c'est ma proposition fondamentale : que ces constantes j^i, y^, . . ., jKii-i séparent^), X3, . . -, Xu. Donc a<x, < j, <x,<:yi<x^<.. .< 7,,^, <x„<b.

Il faut remarquer que la démonstration que les A* sont positifs se fonde seulement sur l'exactitude de (i), G(j7) étant un polynôme du degré 3?i — 3 au plus (et non an — i). Aussi, dans la dcmonslration suivante de la proposition fondamentale nous ferons usage de (i) seulement dans le cas que G(a7) est du degré 2n — 2.

[o4 CORHESPOND^NGE B HERHITE ET DE STIELTJES.

Je délerraine un poljnome du degré a/i — ajT(^)par]es conditions suivantes ;

Ces conditions étant au nombre de a H — i, le poljn est parfaitement défini par cela, et l'on aura

Lcs racines de l'équation

sont (d'après le théorème de Rolie).

eT(.r)

.Ai-i-.-.-^kk-

Le nombre total de ces racines est 2/3 — 3; T'(a:) étant du degré 2n — 3, l'équation ne saurait en avoir davantage, et toutes ces racines sont simples.

H est facile d'après cela de se représenter la marche de la fonction T(3;) ou de la ligne ^i^T(a:). Dans la figure ci-dessous, c'est

la ligne en trait plein; en effet, la ligne poinLÎllée ne sauraii convenir parce qu'il en résulterait au moins une racine de T'(a;) ■= o pTitre Xk et a;*+) , qui n'existe pas.

LETTRE 30. Io5

On voit :

i" Que T(j;) est toujours positif dans l'intervalle a, b;

2" Que I est\a.va\e\irminimumieT(x)dajisVinlerv3\\ea^a:/,.

De l'équation

notis pouvons donc conclure

''■"fj"

HA»>/' 'f{i:)T{x)dx,

On démontrera d'une manièi dérant l'antre limite b de l'intéj

fraie

donc

.A, + ...+ AA.<y '"V(^)'^^-

Ces deux inégalités (a) cl (p) font bien voir (.|ue la qannLiLé 7^ définie par

A,-i-A2-f-...-hA/.= f /{aijdx

reste comprise entre Xk et ^t+i- C'est la proposition qu'il fallait démontrer.

Avant que j'eusse trouvé celte démonstration, j'avais constate l'exactitude dans les cas suivants :

cm^ -4»h'^^]'

g(»)(l«tleg.-é,„-i.npl...

lo6 COBHESPOKDANCE d'hERMIXE ET Dlî STIEITJES.

Quand j'ëlais, dernièrement, à Paris (' ), j'ai été votre auditeur à la première leçon de votre cours du second semestre, et c'est même de ce temps que datent mes nouvelles réflexions sur la question que je viens de résoudre enfin.

Si mon séjour eût élé un peu plus long, j'aurais certainement tâché d'avoir le plaisir de vous parler. Mais alors, l'heure du diner me semblait trop proche et je suis parti le lendemain matin. Votre très dévoué.

51, — HERMITE A STIELTJES.

MoNsiEun,

Ne soyez pas fâché si, après avoir lu, avec toute l'attention dont je suis capable, votre dernière lettre, je viens de noiivean vous faire part de difficultés qui n'en sont certainement pas, dans le fond, et que quelques développements feront évanouir. On sait, ditesvous, qu'en désignant par G{x) un polynôme en x du degré i.n^i au plus, on peut poser :

les quantités X{, x^, . . ., x„ étant comprises entre a et b. Je dois vous avouer que celte propriété m'est complètement inconnue, si inconnue que je ne vois aucun moyen d'y parvenir et de l'établir. Je ne vois pas non plus pourquoi ayant trouvé, en supposant

une valeur positive pour A*, vous concluez immédiatement que pour tout autre polynôme cette constante sera la même, et, par cela seul, sûrement positive. En attendant que, par quelques mots d'explications, vous dissipiez les ténèbres de mon esprit, permettezmoi de vous demander s'il vous conviendrait de donner aux A nnales

(') Pendant le voyage

LlîTTRE 52. 107

de VEcùle normale supérieure, dont M. Tisserand est îe rédacteur en chef, un Mémoire étendu et bien complet, sur cette question des quadratures qui a été le sujet de vos dernières lettres ('}. Aussitôt que je connaîtrai vos intentions, j'en ferai part à M. Tisserand qui sera, j'en suis certain d'avance, extrêmement satisfait d'offrir un Mémoire de votis à ses lecteurs. Mais, pour nombre d'entre eux, il est d'une absolue nécessité de ne supprimer, dans les développements, aucun intermédiaire; je me range, tout le premier, dans cette catégorie ; la peine à prendre et l'effort à faire pour combler les sohuions de continuité que je trouve dans un travail, sont un motif suffisant pour me détourner d'en faire l'étude. La question de l'intégration par approximation est de la plus haute importance, et le point de vue auquel vous vous êtes placé en. envisageant les fonctions intégrables d'après Riemann est entièrement neuf et intéressera vivement les géomètres. C'est donc une occasion, Monsieur, d'attacher votre nom à un sujet élémentaire et fondamental en Analyse; je n'ai pas besoin de vous dire combien je serais heureux de le faire connaître en exposant vos recherches à mes élèves de la Sorbonne.

En vous renouvelant, Monsieur, l'expression de ma plus haute estime ot de mes sentiments bien dévoués.

- STIELTJES A IIERMITE.

Monsieur,

Je suis bien fâché que mon travail vous ait causé tant d'ennui et je me hâte de vous donner les développements demandés.

Soit /(a;) une fonction donnée, qui ne devienne pas négative entre a et b. Il n'est pas exclus qu'elle devienne infinie ; seulement

Jj(x)dx dm

(') Ce travail a effeclivement paru dans les ^nnaies rfe l'École Normale supérieure : « Quelques recherches sur les quadratures dites mécaniques », 3" série, t- I, p. 409-456; 1884.

Io8 COltRESPONDANCE D HEBMITE ET DE STIELTJES.

Problème. — ûéLerminer un polynôme

N(a;) = œ'^^ a,a:"-i-i- «,a^"- = -H. . . + «„ d'un degré donné n, te! que

Ces conditions donnent, pour déterminer les inconnues Oi, «j, ..., a„, les équations linéaires suivantes :

! y X- f{x) d^^a,J X'-' /(^) dx

^a.J cc"-^ f{^) dx -1- . . . -I- a„J /(^) dx = (,,

I x"-+^ /iœ)dx + a^ j 37" f(3;)dx

-+a,J x'^->/(x)dx+...+ a„J j;f{x)doi^o.

J x^'^^f{x)dcr-.a,J x^'-^/(x)dx

-+- a,J ^^"-■'f{a:)dx + . . .^ a,, J x"-'f(x) dx = o

Le problème est donc déterminé en général et «,, èi^; ■■-, «« deviennent des fonctions rationnelles des an constantes

J x^fim-idx (k = o, i,a, ,..,3«-i).

Mais, si, comme nous le supposons, !a fonction /{x) ne change point de signe, on peut démontrer qu'aucune contradiction ou indétermination ne peut se présenter dans la solution du système (2),

le dctermlnaiil. A étant, alors, certainement différciif, de zéro. En effet, écrivons, dans les intégrales de la première ligne, x, au lieu de X, dans celles de la seconde ligne, jcj, elc, enfin dans celles de la dernière ligne, Xn au lieu de ^; le déterminant A peut alors se mettre sous la forme d'une intégrale n-uple, ainsi :

ou bien

(3) ^-^J J -f /(^,)/(^i)--/(«^O^î^a^t---^:rnrfr,rf^.

S!iXlxl...x'^

dxidx^... dx„

La notation des variables étant indifférente, on peut, dans l'expression {3}, permuter de toutes les manières (en nombre i.2.3...«) les indices i, a, . . ., n. Par ces permutations, H ne change point, ou change sevilement de signe et, faisant la somme de toutes les équations que l'on obtient par ces permutations, on aura

donc

, .arj-' = n,

.^.^...n&^J J . . . J f{j7,)/(^,).../(^„)(ny d^, d^,...d^,„

ce qui fuit bien voir que, dans notre supposition concernant la fonction /(x), A est positif et différent de zéro.

Conclusion. — Le problème posé conduit à un polynôme N(d;) parfaitement déterminé pour toute valeur de n. Désignons ces polynômes pour 7i^i, 2, 3, ... par N,(;ït), Ns(a;), N3(i(T), .... Les conditions (i) qui ont servi à déterminer N(^) font voir que

(5) J fiœ)n{x)T,,{x)dœ = o,

T/j i(a;) étant un polynôme do degré 11^ i au plus, d'ailleurs

IIO tORRliSPONlIANCE D HERJIIÎE ET DE STIELTJES.

tout à fail arIjiLrairc, On a donc aussi

J f{^)n,{x)-^,ix)dx = ..

ment k est au moins égal à i, parce que N(^) doit changer de ; entre « et 6 à caiise de

lorsque les indices k et l sont inégaux. Proposition. — Les racines de l'cqualioii

sont réelles, inégales, comprises entre a et b.

En effet, désignons par ar,, x^, . . , , .^* toutes les racines réelles de cette équation qui sont comprises entre a eX. b. Nécessaire-

3 égal à I, p; cause de

Posons

P(a;) ne change point de signe entre a et b. Or, si P(^) n'était pas simplement égal à l'unité, (j: — Xi){x^x^'), . .{x — x^) serait au plus du degré n — i et, d'après (5), on aurait

ce qui est impossible, parce que la fonction sous le signe / ne change point de signe.

Toutes les racines sont donc comprises entre a et b. Mais aussi, il ne saurait y en avoir d'égales. En effet, supposons

P(x) sera du degré /( — 2; par conséquent J f{x)m,cc)V{x)dx = ^,

ce qui est aussi impossible (de nouveau).

Application des résultats précédents à la quadrature mécanique. -— Désignons par X\ , x^, ■ . ., x,, les racines de N (x) = o.

Soit G{x) un pol;ynome de degré a/i — i au plus, d'ailleii] parfaitement ai'bilraire. En divisant G{x) par N(a,') on aura (7) Gia;) = Q(^)N{x) + -R(^),

le quotient Q{x) et le reste R(x) étant tous les deux ■: degré 71 — 1 au plus.

Nous aurons donc, d'après (5),

J /{x)G{cr)dc^=J f{a:)K{œ)dw.

Maintenant, R(a;) étant du degi-é ii — \ , on a identique d'après la formule d'interpolation

En posant donc

Aa ne dépendant don l'équation (8) devient

façon du poljnome G (a;),

,, d'après (:),

)G(r)<te = AiG(a:,) + A,G(^0^-■■•-l-A.„G(a^„).

Je crois qu'après ces développements tirés du Traité des fonctions sphériques de M. Heine, ma lettre précédente ne présentera plus d'obscurité. M, Heine ne nomme pas l'auteur de cette démonstration que N(3:) ^ o a toutes ses racines réelles, inégales, comprises entre a et b. le crois me rappeler (un peu confusément) que Legendre est l'auteur de cette démonstration exti'èmement ingénieuse dans le cas f{x)=^i, ]V(^) = X„. Mais j'aurai soin de m'en assurer (de m'assurer de cela).

J'ajoute encore la remarque suivante qui, certainement, n'est

iI2 i:0RHESP01VnANCE D HERMIIE ET DE 8T1ELTJES.

pas nouvelle pour vous, seulement pour indiquer la liaison de ces recherclies avec la Note que vous avez bien voulu présenter à l'Académie en octobre i883.

Comme on a

+ iîf ^.A^) -^^ -I- i / ^V(^) rf^ + . • - ,

les équations (2) expriment aussi que, dans [e développement de

suivant les puissances descendantes de z, les termes en -, '~i' '"' ~i manquent ('). N(s) est donc le dénominateur de la réduite d'ordre n de la fraction continue

r' fi") j. ».

'' "" Xî

cl l'on a

Na=(a-ff,)Ni->.iNo,

L'équation

N3=(j — OîjNî— Î.5N,,

N^i = (-3 — «i) Ni— X^N/(|

donne, en multipliant par Na(s)/(s)c:/s et intégrant de a à i, à cause de (6),

N,(j!)N,,(«)/(«)rfi

( ') Note de l'auteuv. — C'est ainsi que M. Heine a posé le prabième, Tom page 38e, EL qu'il arriva à ces équations (2].

d'oïl l'on voit iminédiatement (yae a^ esL -compris entre a et b. De mémo, en multipliant (a) par N/i,{z)f{z) dz et intégrant de ak b, on trouvera, à cause de (6) et de

2N^,(3) = N*(5) + polynôme du degvÉ^-i,

j N^,(a)N*i(s)/(s)rf3

Donc X^ est positif. J'avais démontré ces résultats d'une autre manière dans ma Note d'octobre i883. Du reste, la fonction /(s) étant donnée, ces équations (ii) et (12) donnent un mojen régulier pour déterminer de proche en proche toutes les constantes a, X de la fraction continue

H = J A^)dz, a, = J zf{z)dz = J f(z)dz.

Âjant trouvé a,,, N, (s) est connu, et Ses équations (11), (12 donnent a,, X, qui font connaître N2(3), ....

La théorie de M. Heine n'étant peut-être pas connue généralement en France, il sera bon probablement d'en donner un aperçu comme celui plus haut, dans mon Travail, quoique ce qui me reste propre devienne (devient) de cette manière peu signifiant, en regard de ce que j'emprante à M. Heine.

J'avais démontré, dans ma Note d'octobre i8S3, que la quadrature mécanique

A, G, (a:,) -t- As 62(^:2) -I- , . .-(- A,iG„(37„) donne avec une approximation indéfinie

G[x) étant continue et présentant un nombre fini de maxima et de minima. Et il est même facile de voir que celle dernière restriction est superflue et qu'il est suffisant que G{x) soit continue.

Il4 CORHESPOSDANCE d'heRMITE ET DE STIELT3ES.

Pour cela, il suffit de remarquer que G{a;) étant continue, et s une cfuantilé donnée aussi petite que l'on veut, il existe toujours une fonction continiic F(^) qui ne présente qu'on nombre fini de masima et minima, el tel que Gix) — F(ir) reste inférieure à s. [Ce nombre fini de maxima ou minima de F(«) croît an delà de toute limite avec - lorsque 0{x) présente une infinité de maxima ou minima, mais cela est indifférent pour la question.]

Ce résultat d'octobre i883, que la quadratme est applicable à toute fonction continue, a été pour moi la raison principale qui m'a fait croire [avant que j'eusse (j'avais) trouvé une démonstration] à la vérité de la proposition fondamentale de ma lettre précédente, et qui m'a fait cliercber avec un peu d'obstination à (d'en) en obtenir une démonstration.

Cette lettre. Monsieur, est devenue trop longue pour parler encore de mon premier Travail et des (sur les) racines de l'équation F(^) ^ o et des transcendantes de Bessel. . . .

Crojez-moi, avec les sentiments de profonde reconnaissance, votre très dévoue.