STIELTJES A IIEIiMITE
MOMSIËTJR,
Je suis complfitcmont enfoncé, en ce moment, dans des calculs numériques : déterminations du temps, azimuts du soleil, réductions d'observations pour déterminer la déclinaison magnétique... et, poiir quelques mois, il m'est défendu de m'arracher à (de) ces calculs, et je vais répondre seulement à un point nommé dans votre lettre. J'ai déjà envoyé à M. Tisserand un Mémoire sur les quadratures mécaniques; mais il m'aurait été bien difficile de donner là mes premières recherches sur les valeurs approchées des AftCtc, dans la quadrature de Gauss.
Voici le chemin bien simple que j'avais suivi pour obtenir les racines des transcendantes de Besse],
4 2^42. 6 2^42.6^.8 ■■■ dz '
Hansen a donné les séries semi-convergentes
Jo(a)- y :^^'^^\^ -^)[' s.iô'^ "^8.16.24.32" '"'}
'^y ~z^^^\f 4/ U'^ 8.iG,a4^ "^8.16.24.32.40"^ ----j,
^i /X^o./^- !^V^ w 3 5. 7.1.3 , 3. 5. 7-9. II. 1.3. 5. 7 __,
"^V TCZ \ i/\S 8.16.24 ■ 8.16.24.32.40 "
Soit t^lk — 7 ) Tt une valeur approchée d'une racine de
LETTRE 54. Ii;
Jn(s} = o; alors j'ai supposé celle racine développée ainsi :
La siibstilulioii de cette expression dans celle de Jo(s) écrite phi( haut donnera, en développant suivant les puissances de (^',1< moyen de déterminer )>), X3, ■ . .; je trouve
donc
L'expression de M. Boussincsq
83/,= (4/:-i)Tr-4-/(Tr=T)='^^-+-8 devient, par l'inlroduclion de
elle donne donc des valeurs trop fortes, comme l'a remarqué aussi M. Boussincsq.
On peut suivre la même méthode poiir les racines de J) (s) ^= o (calculées par M. de Saint-Venant) en posant t = ik -{- -A t.; je trouve
je n'ai pas calculé le terme en (avec) t ^, L'expression de M. Boussinesq
devient, par l'introduction de t,
CORRESPOKDANCE D IIERMTTIÎ ET DE STIELTJES.
elle donne donc des valeurs trop faibles.
Mais voici qu'un ami, qixi s'iïit<iresse beaucoup (de) à la Ptjsique mathématique, vient de m'informer, un de ces derniers jours, que ma méthode n'est pas nouvelle.
Et, en effet, àsixt^Xes Comptes rendus de l' Académie de Berlin du afi avril i883 (p. 522),M. Kirchhoff fait usage de l'expression suivante (dans ma notation) :
, „ ,1 o.iSiqSa o,oi53()9 o,a:i5835
ce qui n'est autre chose que la formule (2) mise en nombres el complétée par le terme en (~^. M, Kirchhoff dit que c'est une formule due à M. Stokes, qu'il a empruntée au Tkeory ofsound de M. Rajleigii, vol. I, p. 273. Peut-être M. Stokes ne l'a pas publiée ailleurs...; je n'ai point vu le livre de M. Rayleigh,
Je vous remercie beaucoup, Monsieur, pour votre jolie formule arithmétique; mais, pour le moment, il m'est interdit de faire de l'Arithmétique.
C'est avec une profonde reconnaissance que je suis toujours votre bien dévoué.
P. S. ~ Dans le Tome LVI du Journal de Borchardt, M. Lipschitz a donné une démonstration rigoureuse des développements semi-convergents de Hansen,
- HERMITË A STIELTJES.
MOSSIEUR
Je viens d'apprendre que vous avez été honoré, par le Sénat académique, du titre de Docteur en Mathématiques et en Astronomie. J'espère que cette distinction est d'un bon augure et présage que, bientôt, vous obtiendrez une situation digne de votre beau talent et de vos travaux, A mes félicitations je joins des t
LETTRB 56. 119
de voiis avoir fail aUendre ma réponse à votre dernière lelli-e, et je vous les dois d'autant pkis que vos renseignements au sujet de la fonction i(x) de Bessei m'ont rendu nn grand service. Le Mémoire de M. Lipschilz, que voos avez eu la bonté de m'indiquer dans le Tome 56 du Journal de Crelle, est 1res important et très beau . Il ressemble à ce que Cauchy a fail, avec tant de succès, pour le développement de logr(^} en série semi-convergente, et, ayant eu l'occasion d'écrire, à propos d'Arithmétique, à l'auteur, je me suis donné le plaisir de lui en faire mes compliments. Laissant l'An tliniétique, à laquelle une autre fois je reviendrai, quand je serai délivré de leçons et d'examens à la Sorbonne, je viens vous demander si voire méthode, qui m'a extrêmement plu, pour développer en série les racines de i{x) ^= o, s'appliquerait encore à l'équation Xn= o en partant de l'expression de Laplace
OÙ ^ = co50. Je suppose que non, mais avec doute; en tout cas, je prends la liberté de vous conseiller de faire un article où vous développeriez ce que vous m'avez écrit sur la détermination approchée des racines de cette équation.
Avec mes félicitations pour votre nouveau titre, je vous renouvelle, Monsieur, l'expression de ma plus haute estime et celle de mes sentiments bien dévoilés.
- STIELTJES A lŒRMITE.
MOMSIEUK,
Veuillcï bien me pardonner d'avoir ajourné trop longtemps de vous remercier pour votre dernière lettre, ce que j'aurais dû faire d'autant plus quejcne doute point que c'estsurtout à l'inlérêtque vous avez bien voulu montrer pour moi que je dois la distinction que le Sénat académique m'a accordée.
Je ne suis point en état de vous donner une réponse satisfaisante,
l'IO CORRESPONDANCE D HERMITE ET DB STIELTJES.
toncernaiii les racines deX,;^ o en partant de
J'avais seulement remarque que, dans la valeur approchée de la racine qu'elle donne
.,.„<fc;^)^.„.. „ = „, ,.,,
S est de l'ordre (de) — ■ En tenant compte des tei'mcs en — ) on obtient la valeur plus approchée
Dans cette expression, on a n- 1' ^ o ^our n^^cc^ en s apposant toute/ois que le rapport — reste fini et différent de zéro ou de l'unité. Mais je n'ai pas poussé plus loin les approximations; il semble que les termes suivants deviennent assez compliqués ; ils doivent contenir sin —r~ — , ces -^ — ■ Je crois entrevoir que
4/t-Ha 4rtH-2
tous ces termes deviennent de l'ordre (de) ~ en posant 1^;= 1, a, ..., en sorte que la formule générale serait
si» (4/:-!)^
Fêtant une fonction rationnelle et entière en
Peut-être je reviendrai encore sur ce sujet et, s'il m'arrive (à) d'obtenir quelque résultat net, j'en ferai un petit article.
En étudiant, autrefois, le Mémoire de Lagrange : Sur l'usage des fractions continues dans le Calcul intégral [Œuvres, t. IV, p. 3oi), j'avais remarqué qu'en appliquant la méthode de Lagrange à l'équation non linéaire
c'est-à-dire en développant une solution particulière en fraction
continue, on est amené à la fraction continue que Gauss a donnée pour
Î(?jj4;l, ! + ■,»)
En posant J ^= -'
est donc une solution particulière de
et l'on Lrouve encore facilement cette autre solution
En me rappelant cette remarque, j'ai obtenu maintenant l'intégrale
Guidé par les résultats obtenus par Lagrange, j'ai supposé que l'intégrale générale serait
avec la constante arbitraire A:B, en sorte qu'on obtient 2, et s-i en posant B :^ o ou A = o, u étant une fonction de a: qu'il faut encore déterminer.
Or, en posant
j'ai trouvé (') qu'en déterminant « par
c'est-à-dire en prenant
«=.3T-Ï(l — ic)ï-a-P,
(' ) A l'aide des relations entre les formules conligués de Gauss. (Note de l'an-
î D HERJIITE ET BK STIËLTJES.
dp ^ J^ ^(t-") ■■/ ^
d'où l'on tire
en sorte qu'on trouve, pour -^ s, l'équation (i) dont l'intégrale générale est par conséquent
t.»(., S, Y,») H- BP(. --()»■-?(.-, )r-»-S^<i-.,i^ji, a--,.») A#(', P + !,■/ + 1,2') + BY(i-l)a'-!-(i-a;)T-"-PS(i-.,-p, .-y,»)'
En remplaçant x par - et prenant a ^ co, on trouve
avec
*-■*(•' p. T, f ),. + B?«'-' «'*(■-",'- p.» -T. £)^^. A#(.,p + ,,YH-,,î)^__+B.,(,-,)a,-V,.#(,-a,-p, ,-y,ï)^__
En reniplaçanL iC par— . > en prenanL a ^ co, fi = oo, on Iroiive
avec l'intégrale
Enfin, remplaçons x par -^ et prenons ^ = od,
A!f(^, P,T,^)+ B(. -Y) »i-T .-.*(.-., .-?,.--■/, |) A#(.,P-H,, + ,,|),BY(,-T)s=-re.#(,-,,-p,,-T.|)
LETTRE 57. laS
Mais ces équations ne diffèrent pas réellemenl de (2) et de (a') comme on le voit en changeant x en — ic et remarquant que
pour ro=:oo.
Veuillez bien agréer de nouveau, Monsieur, l'assurance de ma reconnaissance et de mes sentiments bien dévoués.
