STIELTJES A IIERMITE

Leyde, 28 juin 1884.

MOSSIEUR

Permettez-moi de compléter encore l'étude de l'équation différentielle de ma lettre d'hier.

En posant

l'équation diiFérentietle admet l'intégrale générale

A T, + B^i et ^ sont deux intégrales particidicres de

tandis que $j et ^) satisfont à

Les valeurs de ^ et ^, peuvent se mettre sons la forme Posons maintenant

^ ï(i:z.î> ± „„ „ . JM^,.

L'équation (i) se change dans l'équation linéaire

(").(.— )'|^+(.--)[.-Y + (""!i-^)«lJ-P(—ï)» = <.

et noui arrivons à cette conclusion :

L'intégrale générale de l'équation linéaire (3) est:

et celle intégrale peut se mettre toujours sous la forme

(3') H'- OILe-' ^"^^■' *^^''+''^'.

Supposons la forme (3), c'est-à-dire S et 03 connus eL tâchons d'en déduire le rapport ^■

Soit

En égalantle second membre de (3') à « + pj diiférentianl el combinant avec (3'), on trouve sans peine A « 0

La fonction (qui figure) dans le second membre doit donc être une constante, ce qui exprime une propriété des deux solutions particulières « et f facile à vérifier.

La différentielle logarithmique de (4) donne, en effet,

(çe^,-^so = (î;^-«iti)'

yGoosle

s, et ^1 étant des solutions particulières d'une même équalion linéaire du second ordre, on trouve

[CEui'res de Gauss, t. III, p. aaa, formule (94)]- On de^ra donc avoir (avoir donc) :

ce qui revient à

.)iij

C'est une relation qu'on ne trouve point explicitement dans le Mémoire de Gauss; mais la formule (99) (p. 2a3)

(i-3:)^(a,13,Y,^)^(i-'x, i-P, i-Y, ^) donne, en transformant les quatre fonctions^ à l'aide de

^T-^Xr

En changeant ^ en y — ^, y en x, on trouve la relation (5).

Nous avons vérifié ainsi l'équivalence de ces deux formes (3) et (3') de l'intégrale générale. Cette réduction dépend de la propriété (4) [équivalente à (5)] des deux solutions particidières m et f.Jene sais point si eetteintégration de l'équation(2) est connue; j'ai vu seulement, dans le livre de M. Cajley sur les fonctions elliptiques (édition italienne de Brioschi, p. 228) que cet aitteur a considéré les équations

5^' tU

I 36 COttRESPOKDAKCE D'HERMITE ET DE STIELDES.

Mais, autant que je puis le voir, il ne semble pas avoir rencontré la forme analytique que je viens de trouver pour l'intégrale générale. Je dois ajouter que le Messenger of Mathematics n'est pas à ma disposition.

Veuillez Lien accepter de nouveau l'assurance de mes senlimenls dévoués.