HERMITE A STIELTJES

La Bourboule, i" septembre i88^,

MOMSIEUE,

0n commencement de diabète, qui n'a pas été sans quelque influence sur mon travail depuis i'année dernière et que je soigne en prenant les eaus, ne me met guère en disposition de faire de l'Analyse. Cependant j'ai pris le plus grand plaisir à votre théorème si r les mineurs du déterminant

et, si j'étais en meilleure San té, j'essaierais de retrouver votre démonstration. Permettez-moi, au moins, d'appeler votre attention sur une remarque très belle de M. Rosanes, sur les transformations en elles-mêmes des formes quadratiques, qui conduit immédiatement aux expressions des substitutions orthogonales que j'ai données autrefois. Considérez la substitution que j'écris, dans le cas de trois variables seulement,

aa; + ay-^a's==aX -h6Y -hcZ, hx -H b'y -t- b'z = a'X -+- è'Y + c'Z, ex -f-c> +c's =a"X-!-*"Y + c°Z.

Vous vérifierez sur-le-champ qu'on en conclut x{ax ^ a'y -^ a' z)-^-y{bx -^by + b"3) -^ z{ccc + c'y ^ c" z)

= X(flX -1- d'Y H- a'Z) -1- Y(ÔX -l- i'Y-4- i'Z) -H Z(cX -1- C'Y -H c'Z),

c'est-à-dire une transformation en elle-même de la forme

îlations

. —v,^-^ i-i^ = X -1- vY - fiZ,

L3^-i-Xj- + ^ = f:iX-XY-HZ,

d'Olinde Ro:lriffLi(

yGoosle

ija CORRESPONDANCE 13 HERJIITE ET :

comme vous voyez, de la l'emarque de M. Rosanes. Je ne sais si ces expressions, sous forme rationnelle en X, ]ji, v, permettraient de démonti'er votre proposition et surtout de la généraliser, ce qui serait extrêmement important. En tout cas, permettez-moi de publier dans les Acla mathematica ( ' ) votre lettre que mon éloignement de Paris m'empêche de donner aux Comptes rendus et qui intéressera vivement, indépendamment de son application mécanique, et veuillez, en même temps, recevoir la nouvelle assurance de mes sentiments de haute estime et de sincère amitié.

- STIELTJES A HERMITE.

Mon SI

Leyde, 6 septembre i.

J'ai appris avec (bien) beaucoup de tristesse cette mauvaise nouvelle de voire santé, que vous me donnez dans votre dernière lettre. Veuillez accepter mes vœux sincères pour votre rétablissement! Je suis sur que partout, dans le monde mathématique, on en fera de même.

Votre lettre m'a fait reprendre l'étude de ce théorème sur les substitutions orthogonales et j'ai réussi, dans le cas de quatre variables, par un calcul qui ne laisse pas d'être un peu pénible. Le raisonnement suivant laisse à désirer sur un point, mais it s'applique à un nombre quelconque, pair, de variables.

Soient

les coefficients de dei

'" -H i«"' d" -V- irf'"

ubstitutions orthogonales de détcraii-

(') La lettre de Stieltjes a été publiée (par estrait) dans le Tome VI, p. Sig-Saa des Acta mathematica, sous le titre : Un théorème d'Algèbre. — On peut rappniclier ce travail de Stieltjes d'un travail antérieui' : Sur le déplacement d'un système invariable dont un point eUJlxe {Archives néerlandaises des Sciences exactes et naturelles, t. XIX, p. Î'ji-Sgo; i884).

- 1 , el de plus

En multipliant, il vient

(cta) (ab) (ac) (ad)

(«6) {bb) (bc) (bd)

{da) {dd)

(aa)^(bf>)-- {ab)=-{ba)..

(cc)={dd) =

c'est-à-dire le déterminant S est gauche.

Supposons R :=^ o, cela entraîne S = o. Mais S étant gauche, la condition S ^= o entraîne que tous les mineurs de S s'évanouissent [cette remarque, qui s' applique à un déterminant gauche d'un ordre quelconque jDCTir, n'a peut-être pas encore été formulée expressément (peut-être)].

En supposant maintenant que D n'est pas zéro, on en concKit aisément que tous les mineurs de R s'évanouissent aussi. En effet, en nommant D^, Dj, . .,, les mineurs de D, on aiu-a

{aa) {ab)

(ad)

Da De Dj

et les mineurs de R s'expriment linéairement par les mineurs des deux déterminants à gauche, il vient, par exemple,

Dlîu = S{ûai Aa + S,„i, Ab 4- S(„,. Ac -4- S,„rf, Ad,

Rfl étant mineur de R, S(a„), ^^ad) étant des mineurs de S qui s'évanouissent lorsque S =: o.

l34 COBHKSPONDANCE d'hERAITI! ET DE STIELTJES.

Il reste à faire voir que, lorsque R := o, on n'a pas en même temps D =o.

Dans le cas d'un nombre pair de variables, ces deux déterminants D et R sont de même nature parée qu'il est alors permis de changer de signe tous les nombres du Tableau.

Dans le cas d'un nombre impair de variables, D est identiquement zéro, et la démonstration précédente ne peut s'appliquer ( ' ).

J'ai été vivement frappé par celle belle remarque de M. Rosanes, que vous avez portée à ma connaissance. Que c'est simple! On en

déduitaussîtôtles formules générales avec ■ arbitraires pour

la transformation d'une forme quadratique en elle-même, qu'on vous doit (à vous), en même temps que l'expression rationnelle d'une substitution orlhogonale due à Cajlej et qui a coûté tant de peine à Euler.

Si vous le jugez (cela) convenable, je verrai avec plaisir que vous publiez ce que bon vous semblera (semble) de ma lettre. Mais toutefois, cela ne doit pas vous coûter (causer) de la peine.

Je suis toujours. Monsieur, votre sincèrement dévoué.

P. S. — Il j a quelques jours, ma femme est accoucbée d'un fils. Heureusement la mère et l'enfant se portent très bien.

- HERMITE A STIELTJES.

Flanvillc par MeU (Lorraine), g octobre i.

MoMSIEUll,

Je suis bien touché et bien reconnaissant de l'intérêt que vous avez eu la bonté de me témoigner au sujet de ma santé. Je viens

( ' ) Après la publication de la lettre de Stielljes, M. Netto a publié deux Notes dans les Acta malkematica, t. IX, p. ipS-Soo; 1S87; et t. XIX, p. io5-ii4; 1895, Sur l'ecctemUin des résultats de Stieltjes au cas d'un nombre quelconque de

LETTRE 63. l35

en même lem[)s, vous iniormer que j'ai envojé à M. Mittag-Leffler votre avant-deroière lettre, en lui demandant de la publier dans son journal. Ce que vous m'avez ensuite communiqué dans votre lettre du * septembre m'a extrêmement intéressé et je vous fais mon sincère compliment de votre idée ingénieuse et originale d'avoir considéré le produit RD qui se trouve, sans que rien ail pu ie faire soupçonner, un déterminant gauche.

C'est là un résultat on ne peut plus curieux, et votre singulier théorème se trouve ainsi démontré pour les déterminants d'ordre pairavec beaucoup de simplicité et d'élégance. Vous réussirez certainement à traiter aussi le casdel'ordreimpalr et je me permettrai de vous engager à consacrer à cette question, qui intéressera vivement les amis de l'Algèbre, un article suffisamment développé qu'il serait naturel de publier dans les Acia, après votre lettre, à laquelle il ferait suite. Je ne puis vous dire si, avant vous, il a été remarqué qu'un déterminant gauche ne peut s'évanouir sans qu'en même temps tous les mineurs s'annulent; mais peut-être trouverez-vous quelques données sur ces déterminants dans un Mémoire de M, Gajley dont je ne puis vous donner l'indication précise, n'ayant pas ici le Journal de Crelle, et que je crois, cependant, avoir été publié vers i85o, dans ce Journal ('). Vous n'aurez pas de peine, je pense, à le découvrir, en consultant laTable générale du Tome 50, par noms d'auteurs. Dans quelques semaines, je vous enverrai un petit article elliptique (*)qui pai-aftra dans les Annales de l'École Normale etdontje m'occupe en attendant que, à mon grand regret, je sois forcé de revenir à Paris pour les examens de la Sorbonne. J'espère aussi recevoir bientôt de vous !e Mémoire sur les quadratures que vous avez donné à ce Recueil et que j'étudierai avec le plus grand plaisir.

En vous renouvelant mes félicitations pour vos dernières recherches, je vous prie, Monsieur, de croire à mes sentiments de haute estime et de sincère affection.

(') Sur une application delà théorie des fonctions doublement périodiques de seconde espèce {Annales de l'Ecole Normale supérieure, 3' série, t. Il, i885).

CORRESFONDAUnK 1> HERMITt

. STIELTJES A HERMITE.

MoSSIEUR,

Veuillez bien m'excuser de ne ra'être (m'avoir) pas appliqué encore avec succès à cette question sur les substitutions orthogonales.

En réfléchissant sur certaines questions qui se rapportent à la théorie de la figure de la Terre, j'ai été frappé de (par) la puissance de cette méthode où l'on conclut l'existence d'une fonction qui doit remplir certaines conditions en faisant voir qiie cette fonction se présente comme solution d'un certain problème de maximum ou (de) minimum. Si l'on peut reprocher à cette méthode, dans beaucoup de cas, un manque de l'extrême rigueur qui est toujours désirable, en (par) revanche, il me semble qu'on peut aborder ainsi, quelqiiefoîs, des questions qui paraissent inabordables pai d'autres méthodes.

Peut-être la Note ci-jointe en donne un exemple ('). J'ai envoyé cette Note à M. Mittag-Leffler pour ses Acta. Le cas p ^= i donne immédiatement un polynôme hypergéométrique de JacoLi dont toutes les racines sont réelles.

Dans le courant de décembre, je compte me rendre à Paris; j'espère que, vers ce temps, j'aurai résolu la question des substitutions orthogonales.

Veuillez bien agréer, Monsieur, l'expression de mes sentimeiils