STIELTJËS A IIEBMITE

Moi

Leyde, ao févrii

La Note ci-jointe {^) formera peiit-étre une suite naturelle à celle que vous avez présentée dernièrement. J'avais calculé, il y a déjà quelque temps, le discriminant de X =: o, ce qui m'avait montré que cette équation ne peut avoir d'autres racines multiples que o et I. Mais c'est seulement après voti-e dernière lettre que je me suis aperçu que le ealcid des fonctions de Sturm peut s'effectuer sans difficulté.

Je trouve :

(n-a,«-i,c-a)- f.("-5.« — 2,c — 3) = -B,cp(r

(„2,«-2,c-3)-«y(»-3,«-2,c-4)=-AsY(/-

(re.-3,o — a,c— 4)- (?(n-3,a — 3, c-5) = — B3ç(n

(„ j,« — 3,c-6)- (p(«-1,a-4,c — 7) = — Bi=p(;

— 5,a — ii

( ' ) C'est effectivement le titre de la Note de Stieltjes imprim des Comptes rendus, p. 439-440; 16 février i885.

(') Cette Note, qui est la suite de la Note indiquée dans 1 a paru dans le Tome G, p. 630-612, 2 mara i885, des Compte

e dans le To

a dernière le rendus av

neC

ttrc, c le

titre ; Sur les polynômes de Jacobi.

d'où

(Jonc

X5= rtAiI!2-f(» — 3, a — 2, c — 4), X(= AcB,A,Iîjw(rt — 4, a — 3, e — OJ, X^~iiA.,BiAiBi.if{ii — 5, n — 4, c — 8),

et les fondions de M. Sjlvester

ii^Ai,B,rf(n~2, a — i, 0 — 2)., n*(AoBi)îA,B2tp(H — 3, a — i, c — ^], n»(AoBi)»(AiB5)sA3B,o(K-4,« — 3, c-Ô), nHAoBi)*(A.iBOHAîB3)^A3Biç(« — 5, « — 4, c -8),

C'est le résultat que j'ai indicpié.

J'espère ne pas vous importuner avec ces remarques bien simples. Veuillez bien me croire votre très dévoué.

l42 CORRESPONDAISCE D IIKKMITE ET DE STIELÏJES.

68, — STIELTJES A HERMITE.

MoNSiEin;,

Je me permets de vous communiquer le théorème suivant auquel je suis arrivé par un chemin bien détourné. Si je ne me trompe, il est de nature à vous intéresser. Je le crois susceptible d'une grande généralisation.

Soient set s' deux variables complexes

Pour des modules suffisamment petits de /* et A', les équations

admettent une solution z=: u, z'=v, voisine de ;== a, z' =: b. Cela posé, je considère l'intégrale double

JJ :f(j,y)if,(j, =')

le chemin d'intégration relatif à s étant un contour fermé enveloppant s ^ a, parcouru dans le sens direct; de même celui relatif à z' an contour fermé enveloppant z' ^h. Alors la valeur de l'inté-

' ' ' ' /,ijr A-i AT, A-i \

Il me semble exti-êmement probable qu'il existe un théorème analogue pour une forme moins particulière des fonctions S et ^i et comprenant le cas où (que) les chemins d'intégration renferment plusieurs solutions du système (a) ; mais, pour le moment, je ne me hasarderai point à cette généralisation qui devra présenter encore des circonstances singulières dont je me contente de signaler l'origine. En effet, l'expression (A) ne change pas en permutant les deux fonctions ^et^i tandis que l'expression (B) change désigne.

Mais M. Kronecker, dans son Mémoire Ueber Système von Functionen mehrer Variabeln{MonatsberichtederKônigl.Akad.d. Wissensch. 1869), a déjà introduit des considérations qui s'appliqueront probablement avec certaines modifications dans le cas actuel .

Voici, maintenant, comment je suis arrive à ce tlicorèmo.

On a

ou bien, d'après les formules de Caucliy, or, la série

2Er^

.11 da'"db'^

d'après une généralisation de la série de Lagrange donnée par M. Darboux [Comptes rendus, t. LXVIII). J'ai envoyé dernièrement une démonstration de cette fonnule à M. Tisserand ('), en la généralisant en même temps pour un nombre quelconque de variables. Aussi, le théorème énoncé pe\it être énoncé de cette manière,

' L'intérêt qui me semble s'attacher à cette généralisation du théorème de Cauchy m'a déterminé à vous la communiquer. Certainement, sije ne me suis pas trompé, le théorème en question doit être démontré d'une manière plus directe et moins particulière, quant à la forme des fonctions ^ el tf, , Mais je suis, en ce moment, trop occupé pour songer sur cela. Je ne nie pas, cependant, que j'aurais bien volontiers votre opinion ei celle de M. Picard (sur

(') Cette généralisation de la série de Lagrange a été publiée dans les Annales de l'École Normale supérieure, 3' série, t. II, p. gî-gS; r885.

l44 CORRESPONDANCE D'iiERHITE

cela) à ce sujet. Y a-t-il, après tout, ment?jeûevoispas ('}.

ET DE STIELTJES.

ne erreur, dans le raisonne- Votre bien dévoué.

- STIELTJES A HERMITE.

r.eydo, 1

Quoique pressé par des calculs numériques, je n'ai pu rcslslerau désir de songer sur les intégrales

r r ff(s, z')dsd!:'

excité surtout par le paradoxe apparent dont j'ai parlé dans ma dernière lettre. Pour en savoir la cause, j'ai envisagé directement des contours infiniment petits autour d'un système w, c

Soit ^ ^ « + i, z'^=v + t', et négligeant des quantités d'ordres supérieurs,

# (î(-l- ï, (■ + t') - «( + hl.\

^l{lt-l-t, v-l-t') = ct-hdl'.

Dans les intégrations, les modules iniiniment petits de i et i' restent eonstants. Il faut distinguer quatre eas :