IV

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l'inlégrale est égale à (/iTzi)' rintégvale est égale à zéro, l'intégrale est égale à ïiSro, l'intégrale est égale à (2Tti)5-

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(') M. Poincaré, dans son Mémoire sur les résidus des intégrales doubles {Acta. mathematica, t. IX), a montri! (§5, p. 357) l'origine de la contradiction du résultRt de Stieltjcs.

LETTIiK 69, 145

Il faudra cerLainemcaL troiiver une interpréta don naturelle de la différence qui existe entre I et IV. Je n'ai qu'une idée imparfaite de la méthode qu'il faudrait suivre pour arriver à une théorie complète de ces intégrales.

Naturellement, pour que l'intégrale ait un sens, les chemins d'intégration ne peuvent être choisis tout à fait arbitraires, comme dans le cas d'une seule variable.

Je remarque que, lorsque la théorie de ces inlcgraîes sera complète, on en déduira la formule de M. Darbous :

précisément comme voiis avez déduit la formule de Lagrange du théorème de Gauchy. Et de même pour un plus grand nombre de variables. Comme vous vojez, j'ai suivi un chemin inverse, en adoptant la formule de M. Darboux. J'ai été amené, grâce à votre méthode de démonsU'ation de la série de Lagrange, à la considération de ces intégrales :

Aussi, si je n'avais eu connaissance de cette démonstration si simple exposée dans votre Cours professé à la Sorbonne, sans aucun doute je n'aurais jamais été conduit à la considération de ces intégrales. Mais je dois borner ici mes recherches. Initié à la théorie de Cauchj principalement par votre Cours, j'en suis un admirateur plutôt qu'un cultivateur, et (je dois) restreindre mes efforts aux applications des mathématiques aux phénomènes naturels.

Comme vous le vojez, la remarque accidentelle que j'ai faite l'aurai t pu être depvns bien longtemps.

Votre élève bien dévoue.

i STiULIJES.