STIELTJES A HEHMITE

Paris, 28 août i885.

MOSSITÎUII,

Vous aurez appris par M. Darboux que j'ai accepté de loutmon cœur la proposition que vous deux m'avez faîte. Je ne peux m'empêcher de vous dire comment cette marque de votre extrême bienveillance m'a touché et j'espère présenter ma thèse en .quelques

Permettez-moi, maintenant, de vous communiquer quelqties résultats que j'ai obtenus en continuant mes réflexions sur la fonction Ç. J'ai cru qu'ils pourraient vous intéresser parce qu'ils semblent se rattacher à la théorie des fonctions elliptiques.

Les développements

^M'(^y=aî/9 6t/?'^^.oi/9^^-,.

LETTIIE sa. 107

conduisent à cette conséquence, qii en posant on a ces deux relations

Voici, maintenant, deux relations dn même genre, -^mais qui ne me semblent pas se déduire, aussi facilement de la théorie des fonctions elliptiqaes.

En posant

c'est-à-dire, en introduisant le symbole de Legendre,

avec la convention ordinaire qne ( "5 ) ^^ o lorsque n est divisible par 3 et de même pour ( t ) on a

(4) /s(^)-^Vi{^)-

J'indique, en quelques mots, comment Tétude de la fonction X. m'a conduit à ces relations.

Riemann a démontré, à l'aide de la relation (1), que

CORRESPONDANCE DHERMlfE ET DE STIELTJES.

change pas en remplaçants par i — s. Ot-, en posant les relations (a), (3), (4) permettent de déniontrer de la même

nt pas en remplaçant s par 1^5. J'avais démontré d'abord ces propriétés de î^i, Ça, Ç3 d'une autre, manière, en me servant d'intégrales définies analogues à celle-ci :

En tâchant d'obtenir ensnile (après) une autre démonstration, en suivant le chemin indiqué par Riemann, je n'ai pas tardé à obtenir les résultats indiqués.

Les fonctions ^, , i^j, i^j présentent beaucoup d'analogie avec K{s)- Elles sont holomorplies dans tout le plan. Dans l'étude de la fonction Ç| (s), les coefficients de la série

s'introduisent de la même manière que les nombres de Bernoulli dans le cas delà fonction ^(s).

Ces quelques résidtals me portent à penser qu'on rencontrera des résultats intéressants en étudiant les séries de DJricblet

Peiit-êLre poun-a-l-oii arriver ainsi à la vraie génoralisaùou de ces relations singulières (i), (4)-

Mais, ayant découvert par une sorte de liasard ces relations (3) et (4)) je ne vous cache pas que je ne sais pas si elles ouvrent un nouveau point de vue, ou si elles rentrent dans d'auti'es résultats déjà acquis h la théorie des fonctions elliptiques. Vous qui avez approfondi, dans toutes les directions, cette théone, vous pourrez en juger beaucoup mieux.

Je suis, avec les sentiments les plus respectueux, Monsieur,