STTELTJES A HERMITE

Paris, ay août i885.

MoJNSiËXrii,

Permettez-moi de compléter, en quelques points, ma dernière lettre. D'abord, j'ai omis une relation de la même nature que (i). . .(4) et qui découle encore de la tlicorie des fonctions ellip^ tiques. En eiîet, j'avais écrit

mais, en vertu de ia belle relation bien connue {I — î — 5'+ î^-^ ?' — ?'*-■■■)' = 1 — 3^ ^-55s—7?s-i-y ^10...,

un aura, en posy

n parcourant dans (a) les nombres impairs non divisibles par 3.

iro CORRESPONDANCE D [lERMITR ET DE STIELTJES.

En posant

:■.(.<) =2 (^) ^^ (/«impair comme lout à l'heu

cette relation (5) perincî-de dcinontrer facilement ([ne

ne change pas en remplaçant s par i — s.

Dans le choix des fonctions Ç, (s), Çî(s), ... à étudier, je me suis laissé conduire par cette analogie avec Ç(s) qne les réciproques dei^t (s), ^a(j), ■ ■ ■ peuvent s'exprimer pai- des produits infinis où entrent seulement des nombres premiers et qui convergent certainement dès que s > i .

En effet, cela fait voir que ces fonctions n'admettent point de zéros tant que la partie réelle de s est supérieure à un, et la relation entre Ç, (s) et !^, (i :— s) fait trouver dès lors toutes les r; dont la partie réelle est négative et qui sont pour ^,(s)

et de môme pour les autres fonctions i^.

L'introduction du symbole de Legendre dans les séries Çi c'està-dire la considération de séries de Dirichlet, était donc tout indiquée. Mais, comme je l'ai déjà dit, j'ai trouvé d'abord ces relations entre Kii^) ^t Ki{^ ^ s)^ ■■■ tout à fait indépendamment des relations (2), (3), ....Et comme, par exemple dans le cas de la fonction

on obtient une série analogue en différentiaut

par rapport à .ïî, et posant ensuite^ ^ j^j j'ai commencé à douter si l'introduction du symbole de Legendre dans ces séries f«{x)^ /s {x) était bien naturelle ; il ne serait pas impossible, en effet, que ces séries dussent être regardées plutôt comme des fonctions qui

naissenl de l;v division de rai-gumciil dans les foncûoiis 0. Mai je viens de trouver un ncnivel exemple; en posant

et il ne me semble maintenant pins possible de douter f[iie l'introduction dii symbole de Legendre dans les séries 0 ne conduise ii des fonctions jouissant de propriétés remarquables et dignes d'être étudiées.

Mais j'ajoute aussitôt que je n'ai pas démontré cette relation (6). En effet, d'après la méthode bien imparfaite que j'avais suivie dans les cas plus simples, cela m'aurait entraîné dans des calculs si compliqués qu'on n'en voit pas la fin. Je me suis donc contenté de vérifier numériquement pour quelques valeurs de x cette relation et cette autre qui s'ensuit ;

Mais, ayant trouvé un accord piirfait. en faisant le calcul avec sept décimales, ii ne me reste point de doute sur l'exactitude de cette relation.

Mais, pour le moment, ce sont ces fonctions Ç qui m'occupent encore toujours, et ce n'est qu'incidemment que j'ai fait cette excursion dans une autre partie de l'Analyse,

Je suis, avec les sentiments les plus respectueux, Moi voire bien dévoué et reconnaissant.

SriELTJES A HEHMJTE.

Monsieur,

Je suis parvenu à étendre aux séries de Diriclilet la relation donnée par Riemann entre Ç(j) et Ç(i^s). Je compte donner dans ma thèse l'exposé complet de ces recherches avec les dcvcloppemenls qu'elles comportent. L'intérêl que vous avez bien voulu

17a CORRESPONDANCE D EIERHITI: KT DE STIELTJES.

monLver à ces recherches me fait espéror que vous ne serez pas mécontent d'en voir ici un échantillon,

Soitp un nombre impair sans facteur carré

(-] étant le symbole généralisé c!e Lcgendre ; /( parcourant les nombres entiers inférieurs et premiers à p. Je désigne encore par (u(s) la série infinie

Je déi'e]op|ie suivant la puissance de a; l'expression

J'obtiens ce développement eu décomposant en fractions simples

— : en écrivant ensuite e"^ au lieu de d;, développant ensuite

en fractions les expressions de Ja forme — ■ et développant enfin suivant les puissances de x. Je trouve ainsi ces formules

?(-yi

Ip = i, inod4>.

[ (j0^3, modd).

Dans ces formules, \/p doit être pris posi livement. D'autre part, il est évident que les coefficients doivent être des nombres rationnels. En égalant les valeurs indiquées ci-dessus avec ces valeurs rationnelles, on obtient des formules qui me semblent devoir être mises à côté de celles-ci, connues depuis si longtemps,

LETTUE 81. [73

et qui découleiil. de dùveloppemenls analogues, iniiis élémentaires. Ces coefficienls ont d'ailleurs un caractère arithmétique prononcé,

dans la formule (2) par exemple. — œ (i) a un rapport 1res simple avec le nombre des classes de déterminant — p.

Ces formules (i) et (2) conduisent aussitôt aux valeurs des intoffrales défmies suivantes :

) r^ I. JQ0d4).

En effet, on n'a qu'à développer suivant les puissances de t et intégrer alors à l'aide de la formule

qu'on trouve aussitôt à l'aide de - -— ^ / x'''e~-^dx.

De cette manière, les formules (3) et (4) sont démontrées en

supposant modï<; — • mais on voit facilementj ensuite, qu'elles

restent vraies pour t=^ a+ bi À in seide condition que la valeur

absolue de b reste inférieure à — ■ P En mulliplianl, maintenant, ces formules (3) et (4) par

/.>-'dt (0<S<[),

intégrant de o à oo, renversant dans le premier membre l'ordre des intégrations, et faisant usage de ces formules

on obtient la relation entre !p(s) et'^{i — s), qu'on peut exprime i'

)74 COHBESI'ONDANCI! D'HERMITE KT DE SirELTJES,

en disant cjiie

if) ''^{^)''^'^ ' " /' = 3^'n"d^)

ne change pas en remplaçant s par i — s.

Ensiiivanl la voie que vous avez indiquée pourk fonclioa ^(s), Ja formule (5) permet de reconnaître que ■f(s) est une fonction holomorphe dans tout le plan, etl'on peiitalors étendre à tout le plan cette relation qui lie <f(s) à u(i — s). Cette propriété de »(5) donne lieu à la remarque suivante :

Comme on a

il vient, en poïnnl

Les intégrales qui figurent aux seconds membres ne doivent donc pas changer en remplaçant s par i — s.

L'analogie avec quelques autres formules du même genre donne le plus haut degré de probabilité à ce que cette propriété se manifestera analytiquemcnt par les relations

En admettaiiL ces relations, on trouve

/",T^(;(i)<i»=y"(.»"î + »"^)5(i)ir,

ce qui moûLie bien l'invariabilité pour le changement de i' en 1 — ■ s.

Mais la démonstration de ces relations singulières (7) doit dépendre certainement d'autres considérations. D'après ce qui précède, cette démonstration fournirait une seconde méthode pour établir la relation entre œ(j) etfp(i — s).

J'ajoute qii'il ne me reste plus le moindre doute sur l'exactitude de ces relations (^); numériquement, je les ai trouvées exactes pour/) =^3, ô, 7, Il et i3; mais pour /j ^ 3, 5) j'ai une démonstration.

Mais je n'ai pas encore abordé le problème de démontrer ces relations pour une valeur quelconque de p. C'est une étude qu'il me reste à faire. J'ai supposé, dans ce qui précède, p impair, sans facteur carré, mais il j a des formules analogues dans les autres cas. Je dois réunir tout cela dans ma thèse. Je désirerais vivement de pouvoir j insérer la démonstration de (7), mais je ne sais si je serai assez heureux.

Ce sont là les choses dont j 'ai crn pouvoir vous parler sans yous ennuyer. Ces formules (i) et (a) m'ont donné quelque plaisir, parce que leur établissement a levé les dernières difficultés qui me barraient le chemin.

Je suis, avec les sentiments les phis respectueux, Monsieur, voire très dévoué et reconnaissant.