tîF.RMITE A STŒLTJES

Paris, 8 mars ■«87.

Cheu MossiEtin,

J'ai bien de la peine, à cause de l'allemand eL delà coraplicaLton des calculs, de tirer parti du Mémoire de M. Kronecker, qui me paraît cependant d'une gi'ande importance, et je ne suis guère plus heureux avec le beau travail de M. Poincari^ sur les fonctions à espaces lacunaires. Comment donc arrive l'expression

Rebuté, comme vous voyez, par l'Analyse, je me suis oceiipé d'une formule que Gauss donne dans l'article : De neœit inter muUitudinem classium, etc. [Œuvres, t. II, p. 270), pour exprimer le nombre des points contenus dans le cei'cle x^ -¥y^ =■ A et sur le coûtour, .dont les coordonnées sont des nombres entiers et j'ai remarqué qu'elle s'étend au cas de l'ellipse Âa;* -i- hy^ =^ N.

Faites

le nombre des points contenus ii

1 l'intéricui' et sur la circonférence

de l'ellipse est

î(rp+i-^70+,-i-...-Hr/.)'

On doit à Dirichlet ane formule d'une grande importance dans les questions de ce genre et que j'ai employée récemment dans un article du Journal de Crelle : Remarques arithmétiques sur quelques formules, etc., t. 100, p. 55.

En voici une démonstration facile :

2l8 COBHliSPONDiNCE 1) HE RM l TE ET DE STIEI.TJES.

Soit y ^=f{^x) la courbe iigurée par A'B' depuis x = OA = ^ jusqu'à a; = OB =y:), et, dont on suppose l'ordonnée décroissante entre ces limites. En désignant par A" la projection de A' sur

l'axe Oy, je chercherai le nombre des pointsayant pour ordonnées des entiers, qui sont contenus dans l'aire OBB'Â'A"0 avec ceux qui se trouvent sur la courbe et sur les axes de coordonnées OA" et OB, L'aire en question se compose du rectangle OAA'A'O et du segment ABB'A'A.

Dans le rectangle, avec la condition admise, le nombre des points est ^.E[y(S)], et dans le segment c'est la somme

Cela étant, je fais la même énumération d'une autre manière, en projetant le point B' sur l'axe des ordonnées en B", ce qui me donne, de nouveau, un rectangle OBB'B"0 et un segment

B'R'A'rV'li".

Or le rectangle me donne, si je pose x ^= g'iy):

et le segment conduit à la somme

et faisant t) = E [/(^)]. On trouve, en égalant les deux expressions, la formule même de Dirichlei, dont les applications sont nombreuses et intéressantes, par exemple en faisant j'^^^x"'. Pour m =: 2, on trouve ainsi un résultat qu'a donné M. Bougaïeff, dans un article très remarquable publié dans les Comptes rendus (').

{') Note des éditeurs. ^ Voir Coinples rendus, l. C, p. iiSij.