STIELTJES A UERMITE

MOMSIEI.'LI,

J'espère que vous voudre/ bien m'cxcuser si j'ai ajourné à quelques jours la réponse à votre dernière lettre qui m'a fait tant de plaisir.

D'abord, je dois faire amende honorable, après avoir consulté l'article de M. Poincaré {Comptes rendus, t. XCVI, p. ii34), je vois qu'il n'a pas le rapport si immédiat que je croyais avec la question qui se présenta à propos de votre intégrale

Le théorème de M. Poincaré est le suivant :

Soient f[x) une fonction existant seulement dans la moitié supérieure du plan, /i(x) une fonction existant dans la moitié inférieure du plan, alors on pourra toujours trouver

deux fonctions '^{x), '^{x) existant dans tout le plan, telles que

<^lx)^^(cc)=f{x)a»fAx)

selon le cas. 's(x) admettra pour coupure la partie de i'a.rc de ~i à -\- I, "^(x) les deux coupures de — m à ^ \ et de -\- i

LETTRE li!, ^l5

Dans sa démons Lra lion, M. Polncaré applique la formule de Foimer

et il s'appuie aussi sur celle remarque que l'expression

définit une fonction dans la moitié supérieure du plan et

une fonction dans la moitié inférieure. Dans l'article cité, M. Poincaré introduit la dénomination de coupure artificielle qui me semble heureusement choisie et qui répond à un besoin que j'ai ressenti quelquefois.

L'observation de M. Picard à l'égard de la formule de Gauchj

ne répond pas précisémeut à la question telle que je l'avais envisagée. En efl'et, elle montre qu'on peut calculer f{x') lorsque les valeurs de /(s) (sur la courbe C) sont données. Mais on ne peut pas donner arbitrairement les valeurs de /(s) sur la courbe. Au contraire, on sait (Riemanm, Dissertation inaugurale) qu'en donnant simplement sur la courbe C iapartie réelle u de

la partie imaginaire c est déjà déterminée, par là, à une constante additive près; en effet,

Dans la question telle que je l'ai envisagée, il faudrait donc démontrer que v s'annule sur l'axe des quantités réelles. Riemann [Couvres, p. 220) a énoncé ce théorème i Etant donnée une fonction périodique f{x) de la variable

D riEliMITK ET DTi STJELTJES.

réelle X, alors il existe toujours une fonction 'f[x + iy) finie pour y > 0 eï qui se réduit à f{x) pour y ^ o.

Il renvoie à sa dissertation pour la démonstration. Mais M. Scliwarz {Journal de Borckardt, t. 74) a déjà appelé l'attention sur cette assertion qu'il semble difficile de justifier.

Pour ma part, je crois pouvoir démontrer sans réplique ce qui suit :

Si la fonction /(.r) a une discontinuité dans sa dérivée, alors l'assertion de Riemann ne peut être exacte.

Si, dans ce cas, il est possible de continuer la fonction f{x) dans une moitié du plan, la partie imaginaire c ne peut pas si;

HepreseilUlionde/(a;).

réduire à zéro sur l'axe des quantités réelles. Mais, quoique mon raisonnement n'est pas bien compliqué, je ne crois poiirlant pas devoir le développer ici.

Je viens de voir que la formule de décomposition de -^37- a été donnée par M. Kronecker. C'est, en effet, la fonnule(;j}, page 85 1, des Comptes rendus de l'Académie de Berlin de i885. M. Kronecker donne une démonstration très curieuse qui lui fournit une formule plus générale (12) où il suffit de faire 3 = i pour reti'Ouver la formule (j).

M. Kronecker dit aussi l'avoir donnée déjà dans les Comptes rendus de i883, page 499I mais, en cet endroit, il s'est borné simplement à dire que la formule revient au développement de Fourier de cosax, sinax. J'ajoute que dans le Mémoire cité {Comptes rendus Ae i885), M. Kroneckera remarqué aussi qu'on déduit aussitôt de cette formule le développement en série de Fourier des polynômes de Bernoulli.

Votre très respectueusement dévoué.