STIELTJt'S A MERMITE

MonsiExiii,

J'ai lu avec beaucoup d'intérêt voli'e démonstration de la formule de Diricblet et j'en ai fait l'application au cas y ^r: x^ que vous avez indiqué.

Quant à l'article de M. Poincaré, il m'a donné aussi du fil à tordre; par inadvertance, il j a aussi sans doute une confusion entre les fonctions a et ([/. Mais je crois avoir réussi à en saisir le sens et, si cela vous intéresse, je crois que la Note ci-jointe n'offrira plus de difficultés.

J'espère pouvoir parler une autre fois plus amplement sur celte assertion de Riemann sur laquelle M. Schwarz a déjà appelé l'attention. Pour moi, si je comprends bien le sens des mots, je serai porté à croire que c'est là un lapsus, et que les cas où l'on peut continuer de cette manière luie fonction réelle sont exceptionnels.

Mais je voudrais bien que quelque mathématicien plus autorisé

aao COBHESPOKDANCE U IIERHLT]; ET DE STIELTJES,

traitât ce point. M. Sachse, dans l'Essai historique sur la représentation d'une fonction arbitraire par une série trigonométrique {Bulletin de Darboux, année iS8o) a glissé sur ce point.

Je considère toujours comme mon travail principal la ligne de singularité des fonctions modulaires, mais je ne fais que préparer mes efforts et j'attends les vacances pour pouvoir travailler plus sérieusement.

... 11 me semble que les événements politiques des dernières trente années, en excitant à un si haut degré l'esprit de nationalité, nous ont fait réti-ograder sous bien des rapports. Il y a un demisiècle les partisans des idées libérales qui prêchaient une entente amicale entre les peuples n'étaient pas rares. Aujourd'hui, dans la littérature, personne ne semble penser à cela. Peut-être l'audrait-il excepter ici les partis extrêmes, anarchistes, socialistes., , mais cela n'est pas bien l'ait pour nous consoler. Mais l'histoire continue sa marche et qui peut l'arrêter ou prévoir son développement?

J'ai appris avec beaucoup de satisfaction l'effet heureux qu'a eu la démarche faite en faveur du maintien des Acta malhematica, et certainement vous n'en êtes pas moins content. Je sais comment votre temps est précieux et je crains quelquefois que ma correspondance ne vous pèse. J'espère donc très sincèrement que vous ne consacrerez pas trop d'attention à mes lettres, si elles vous arrivent à un moment inopportun.

Votre respectueusement dévoué.

- HEUMITE A STIELTJES.

Vous avez éclairé de la plus vive lumière le théorème de Poincaré qui m'avait paru si obscur avant d'avoir votre Note que j'ai hie avec admiration, je vous le dis en toute sincérité. Mais je ne dois point garder pour moi seul votre beau travail, et je viens vous prier d'en faire le sujet d'un article étendu pour un de nos recueils, le Journal de M. Jordan ou les Annales de l'École normale. Je suis extrêmement frappé de la possibilité que vous avez si bien établie des développements en séries de tp{^) %{x).

LElTLlJi 114. 22 1

suivant les puissances descendantes et de ^[x)€)(x), suivant les puissances croissantes de la variable, et je ne puis douter que tous les géomètres n'attachent le pins grand prix à votre analyse.

Il me semble même que je pourrais donner votre méthode dans une de mes Leçons, à moins que vous ne désiriez vous réserver d'approfondir encore davantage le sujet, qui en vaut la peine par son importance. Vous pensez bien que je me suis demandé si l'on peut prendre comme exemple

au-dessus de l'axe des x,

/:(^}-=-^ f" '^(O'^o^''~j'-di

au-dessous, de manière à associer à la formidc de Fourier

qui peut n'exister que pour des valeurs réelles, la fonction F(3;) qui existe dans tout le plan, sauf sur l'axe des abscisses. Mais il m'est vraiment superflu de vous donner aucune indication et, mieux que moi, vous saisissez, dans toute leur étendue, le rôle de ces considérations nouvelles et profondes, sur une question capitale d'Analyse.

Vous me faites g:raiid plaisir en m'apprenant que vous songez à la coupure des équations modulaires, coupure qui n'est pas artificielle, comme celles de Riemann ou celles des intégrales définies. Si vos efforts sont couronnés de succès, comme je l'espère, permettez-moi de vous engager à en faire le sujet d'un Mémoire présenté à l'Académie des Sciences et sur lequel M. Darboux, M. Poincaré et moi nous ferions un Rapport qui nous donnerait occasion de dire publiquement ce que nous savons tous de votre beau talent.

En vous renouvelant, mon clier monsieur Slieltjes, l'expression de mes sentiments affectueux et bien dévoués.

CORRESPOSDAHCE D HEHMITE KT I