IlERMITE A STIELTJES

CheU MoKSlEtlR,

J'ai bien crainte de vous prendre indiscrètement votre temps el d'abuser de votre complaisance, aussi ne vous pressez point, je vous le demande instamment, pour me dire si je comprends bien, camme je le crois, la proposition de Poincaré en admettant que la fonction F(3:), telle qu'il la détermine ainsi qxie vous me l'ave/, si bien expliqué, a dans tout le plan, nonobstant la coupure, une seule et unique expression analytique.

Dans ce cas, on aurait un exemple d'une extrême généralité, du fait analytique déjà signalé par Weierstrass et que met en évidence la série de Tannerj

qui existe dans tout le plan, étant +i ou ^i, suivant que moda."-<i ou modx!> i- Mais je ne me trompe point sans doute, en regardant que celte expression imique n'est point donnée au moyen de vos développemenis f{^x)@{x)=^\^a„x~" et '{((x^) 6(ic} = Vô,,^;", puisque le premier suppose mod:c>-i el le second moda- <; i . Faut-il par conséquent se résigner à l'exprcs-

,WeW=/Ii-Ml)

suivant voU'e premier contour el a

suivant le second? J'ai tout Heu de le penser; préoccupé d'autres choses, j'ai recours à vous pour dissiper ces nuages, sous les pins expresses réserves de votre convenance, et en vous priant de no vous presser aucunement pour me sortir d'embarras.

Avec la nouvelle assurance de mes sentiments bien affectueux.

p. s. — Yolre expression

suppose coinrae vous le mentioimez mod^ ^ i, niiiis pourquoi? IIG. — flERMÎTE A STIELTJES (').

VoLre cxpressioD de &(.z:'jtf{.v) dans tout le plan, parla frai tion continue

me paraît extrêmemenL remarquable ; elle me rappelle que M. Halphen, dans les Comptes rendus d'il y a deux ans, a déjà signalé, au point de vue de la convergence, les circonstances singulières que présentent les développements de cette forme, et je suppose que le travail de l'éminent géomètre aura attiré votre attention. Pendant que vous songez à la cinématique, aux dépens de recherches d'une nature plus élevée, je dois aussi m'occuper de mon enseignement, et j'ai charge de fournir des exemples d'intégrales définies qu'on détermine au moyen de résidus. Peut-être dans vos conférences serez-vous aussi conduit à ce sujet; c'est ce qui m'engage à vous indiquer la remarque suivante qui fera le sujet d'une de mes leçons.

Soit

Je me propose d'oblenlr l'intégrale

prise le long d'un contour fermé com[3i'enant à son intérieur

( ' ) Notes des éditeurs. — quelque lettre de Stieltjes cjue

324 COHWESPOKDANCE b'iiEUMITE et BE STlELTJJtS.

H, b, . ... L Si l'on désigne par [j. le degré de F(£) de sorte que

il résulte d'abord de l'ex-pression même de l'iolcgralc que, pour

el par conséqucnl le développement suivant les puissances croissantes de X

.) - A.rl^-=-i-Ba;l^-i-Ca;li+'-i-....

Telle est donc aussi la somme des résidus de la l'onction

pour les divers pôles a, b, . . ., l.

Or !e résidu correspondant à l'un d'eux, z --— a, par exemple, est de la forme

n„j( (x) étant un polynôme en x, du degré m — i . On aura donc la relation

e"^n,„, (^) -H e'«n„-.(a.) +. . . -- «'^11.-, {^) = A il'-i -I- BxV- +- CxV-+< -H . . . .

Cela étant, je remarque que le système des polynômes !!„,,, II„i , , . . donne le degré d'approximation le plus grand possible de la fonction

Effectivement, le nombre des constantes arbitraires contenues dans P,«i, P«i, .--, Pj i est m -\- n -\- . . . -i- s ^ \>., el comme elles entrent sous forme homogène dans les coefficients des difféi-enles puissances de la variable, on pourra égaler à zéro les [x — i premiers termes. Elles se trouvent en conséquence déterminées, sauf un facteur commun, par la condition que le développement de la fonction linéaire des diverses esponenlielles commence ati terme en xt^~\ et c'est cette détermination qui se trouve i-éalisée par les expressions

?,„, = rj,„,, P„-i^ ll„-i,

Je confie maintenant à votre cœur aritlimé tique ce dont je ne dirai rien aux élèves qui ne s'en soucieraient guère; je me propose de donner un système de formules récurrenles, pour obtenir de proche en proche, pour toutes les valeurs de l'entier m, le système des polynômes qui se rapportent au eas de

Mais pour cela, j'ai besoin d'un peu de temps, et je ne sais pas trop quand il me sera possible d'en venir à bout.

Dans Tespérance qu'un beau travail résultera de votre idée excellente et si originale sur le mode d'expression des fondions 8(^)(p(^), 0{a;)ij'(3;), et en vous félicitant vivement de celte nouvelle conception, je vous renouvelle l'assurance de mes sentiments bien affectueux et bien dévoués.