HERMITE A STIELTJES

Paris, 1 7 décembre 1886.

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Votre Communication, qui sera présentée lundi à L'Académie, est extrêmement intéressante et je vous en fais mon sincère compliment. En voyant avec quel succès nous traite/, ces questions si délicates de Limites de valeurs des fonctions, dans le voisinage de leurs discontinuités, la pensée m < :s1 venue d'appeler votre attention sur un pomi de La théorie des fonctions qui me semble digne d'intérêt. Rien n'est, en général, plus facile quand on donne, sous forme rationnelle et entière, une relation entre des fonctions n'ayant que des discontinuités polaire-, que de \<>ir commenl disparaissent les pôles dans celle relation.

\lai>. Lorsque au heu de points isolés on a des Lignes entières de discontinuités, il u en esl plus de même. Considérez, par exemple, la fonction yk = »(w), qu'on obtient en posant </ r'77'" dans L'expression

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et qui a Taxe des abscisses pour coupure. La transformation du troisième ordre vous donne la relation

/'( f.j 1 = cp'» ( 3 tl) I — >. <p I ) W ) v I «J 1 1 1 0-1 ! w ^- 1 w 1] = o.

Il faut doue que la coupure ait disparu dans ,/(«), mai> i\<quelle manière? Vous savez, n'est-ce pas, que Kiemann, d'abord, puis M. Dedekind, par une analyse beaucoup plus facile el plus claire, ont obtenu ce résultat important que pour to = a-f-«e, 1 étant infiniment petit et positif, cp(cd) est indéterminé lorsque la pailic réelle d esl une quantité incommensurable et qu'en supposant a = — , où m et 11 sonl entiers. co4(w) esl zéro ou l'unité,

LETTRE 101. l()7

suivant que m ou n sonl pairs on impairs. .)<• désirerais, mon cher Monsieur, que, dans la même voie, vous fissiez, un nouveau pas : il me semble qu'on doil pouvoir établir que f\ a>) csL continu dans le voisinage de la coupure, en allant |>lus avant dans l'étude de cp(a + «e); je voudrais vous inspirer l'ambition de pénétrer dans le mystère de l'indétermination des quantités ®(a \ et co(3a) lorsque a est incommensurable, qui étanl indéterminées Tune et l'autre, doivent avoir une dépendance l <■ 1 1 «* que j\ ci) ne possède plus aucune indétermination. De nouvelles lumières sur ce poinl de vue se trouveraient amenées sur la théorie «les fonctions analytiques et aussi sur les équations modulaires de la théorie des fonctions elliptiques. Vous verrez facilemenl et peut-être avezvous déjà remarqué que l'existence de la coupure dans cp(to) rend possibles certaines relations qui jamais n'existeraient à l'égard de fonctions uniformes n'ayant que des discontinuités isolées. On ne peut donc se refusera chercher dans l'étude de ces relations des données sur un nouveau mode d'existence des fonctions, el cette élude demande tout d'abord qu'on éclaircisse ce point, pour moi si obscur, de la disparition d'une coupure, dans une combinaison dont la fonction /"(w) donne l'exemple.

Ce m'a été une grande satisfaction d'apprendre que vous vous trouviez bien à Toulouse, et que vos collègues vous avaient fait l'accueil auquel vous aviez droit; permettez-moi de vous prier de me rappeler au bon souvenir de votre doyen, M. Baillaud, en l'assurant que je n'oublie point l'engagement qu'il m'a fait prendre et veuillez, mon cher Monsieur, recevoir, avec l'assurance de ma plus haute estime, celle de mes sentiments affectueux et tout dévoués.