STIELTJES A IIERMITE
Toulouse, -iô mai 1888.
Monsieur,
J'espère «pie vous n'aurez pas expliqué trop à mon désavantage le long silence (pie j'ai gardé après votre lettre si pleine de Lonté et pour laquelle je dois vous remercier encore de tout mon cœur. Mais nous avons été si abattus par le coup cruel qui nous a fait perdre nuire aîné, après une semaine de cette terrible maladie (diphtérie), que je n'étais guère capable de parler de notre Science. A eus savez ce que Lagrange disait de la nécessité de ué jamais cesser de travailler, d'être toujours sur la brèche pour ne pas laisser s'endormir l'esprit et le tenir en haleine et je sens que ce n'esl que trop vrai.
\ euillez donc m'excuser cette fois si j'ose vous parler d'une
question que je n'ai pas encore approfondie, mais à laquelle je pense depuis quelque temps.
Soient
X = a0x'*-+- 4#i#3H- 6a2x2-h . . . -+- a4, Y = b0y>> + 4 6l73 + 6 b,y*- -+- . . ! + bw ;
je pose d'abord cette question. Dans quels cas est-il possible d'établir la relation
dx
dy
à l'aide d'une substitution linéaire
( 2 ) p ■+- q x ■+- ry -+- s^K = o ?
La réponse est immédiate : il faut et il suffit l'égalité des invariants
[ S = a0ak . — 4«Irt3-(- 3«f = b^b^ — 4&1i3-f- 36|.
^1 b* b3 b, b3 bk
( Je fais abstraction des cas particuliers où X = o, Y= o auraient des racines multiples.)
Ces conditions (3) étant supposées satisfaites, je me propose d'approfondir, au point de vue algébrique, la détermination des coefficients p, q.: /', s.
Soient
xu x-2, x3, .r4,
yu 72, 7s, 7i.
les racines de X = o, Y=o. Leurs rapports anharmoniques sont égaux et si l'on suppose, par exemple,
{xu xt, xz,xk) — rapp. anharm., (xu x2,x3,xk) = (71,72, 73, 7*)»
alors les substitutions (2) font correspondre
a?i, iF2, a?3, rri à jki, 72* 73, 7*»
ou à JK2, 7i. 74> 73,
ou à r3, ^4, jKi, 72, ou à 74, jKs, 72» ri-
23o CORRESPONDANCE d'HERMITE ET DE STIELTJES.
Ainsi, il y a toujours quatre substitutions de la l'orme (2) et le problème doil dépendre d'une équation du quatrième degré.
Il est vrai qu'on peut écrire directement ces substitutions si
Ton connaîl x{, x2, •••, #4, y\, y« .».-,, mais cela exige la
solution des deux équations
Il esl bien vrai que, à cause de l'égalité des invariants, cela ne doit pas compter pour la solution de deux équations indépendantes
du quatriè degré, mais toujours cela exige un peu plus (le
calcul <!<• deux racines carrées) que la solution d'une seule équation du quatrième degré. Or, la vraie solution du problème doit dépendre d'une seule équation du quatrième degré que je me suis proposé d établir.
Dans un cas particulier, la solution est facile, el je veux l'indiquer pane que cela montre aussi comment j'espère parvenir au but dans le cas général.
Supposons
(ti= bi [i= o, 1, 1, 3,4 •
alors il est clair qu'une des substitutions demandées est
la détermination des trois autres doit dépendre d'une équation cubique.
Je considère l'intégrale générale de l'équation différentielle (1) que j'emprunte au Traité de M. Caylev-Brioschi Sur les fonctions e llip tiqu es, p a ge 3 1 8 ,
a -r- 2 h a? -f- gx--+- 2j'(li -H 2 b x — fa?*) -+-jK2(g ■+- 2ÎX -f- ex-) = o. Je conserve les notations de M. Cavley qui a pris
X = a -f- bx -+- ex- -h dxz -+- ex'* (p. 3i8), Y = a -H by -f- cy- -f- dyz -+- ey'*,
les coefficients a, b, c, f, g, h sont des polynômes du second degré en C, la constante arbitraire, et si l'on écrit l'équation sous
la forme
A -f- 2 B y -+■ G y- = o ou
Ai-i-aBiJr-i- Q^r2 = o,
on a
