STIELTJES A II ERMITE

Leyde, i<> mars i883.

Monsieur,

Je me s u i > aperçu qu'il s'est glissé une faute dans ma lettre d'hier (2). On a, pour n = oo :

jimÊi ma — p -t- i) J i —

/• dx .

/*' ./■ dx 3

H {Il —p-hl) J \—X ° 2 3

x dx . /j i

= loi: -

mzmL n{ n — p -+- 1) J0 i ./ s 3 4

(') Bulletin des Se. mathématiques et astronomiques. ■>,' série, t. VII, i883, p. i.,j>()-i j i -, Sur la théorie des résidus biquadratiques, par M. T.-J. Stiekjes ( Extrait d'une lettre adressée à M. Hermite).

(-) La lettre du i5 mars manque, t a extrait est inséré aux Comptes rendus du 19 mais : Su/- le nombre des diviseurs d'un nombre entier.

LETTRE 10. Il

Je dois avoir indiqué fautivement les limites dans ces sommations partielles, et je vous prie de vouloir bien corriger celle erreur, due à cette circonstance, sans doute, que j'avais auparavant nommé //,. ce que je désigne maintenant par /'«*+< .

Si l'on prend seulement A de ces séries partielles, la somme des termes négligés

reste inférieure à - ' -A l'aide de cette remarque, il serait 1res

facile de donner à ma démonstration une forme toul à fait rigoureuse en laissant d'abord k constant, mais arbitraire. — Les valeurs de /( 1)4-/(2) + ... +/(") ont été calculées dans le temps (en 18^6); ainsi :

Soit p un nombre arbitraire ^ n et posons

Mors /(i) + /( ■,) + ... +/<»- E(t)+E(^)+-+E

»Mt)-*->M^) +•■■+'<( -)-/"/■

Pour /? = 100 000, par exemple, j'ai [)ris

p = 3 1 6 , 7 = 3 1 5 , et la somme devient

»["(")-»(?)-• — (^)]+E(sf.)-«-

J'avais calculé la somme/(i) + . . .+/(/?) pour /i = 1000, 1 00000 pour avoir une idée de la rapidité avec laquelle le rapport

s'approche de l'unité; les valeurs numériques obtenues m'avaient

tait soupçonner que - — — — - — log/> s approche dune

limite fixe, ce qui se confirmait, comme vous l'avez vu.

12 CORRESPONDANCE D HEKMITE ET 1>K STIBLTJES.

J'espère, Monsieur, que, s il arrivait qu:il vous serait nécessaire quelque calcul numérique, vous voudrez bien m'en honorer. \ présent, je ne peux poinl faire une chose plus utile et je serai toujours heureux si je pourrai vous rendre quelque service.

Veuillez accepter, de nouveau, l'assurance de mes sentiments dévoués.