H ERMITE A STIELTJES

Paris, dimanche (21 octobre 1888) (').

ON CHER AMT.

Je vous apporte ma contribution à la question en me proposanl d'ajouter un second terme à l'expression asymptotique de cn\. Voici d'abord une remarque algébrique à laquelle conduit la méthode de Laplace dont je vais faire usage. Soit

l'intégrale proposée en supposant que la fonction /(x) s'annule aux deux limites a et b et n'ait, dans l'intervalle, qu'un seul maximum correspondant à la valeur x = £. En posant /(x) =/(£). e-ti, puis x = £ -\- z, le développement en série suivant les puissances

(') Note des éditeurs. — Nous avons cru devoir fixer la dale de cette lettre au ai octobre 1888 qui correspond au dimanche compris entre le 19 et le 22 octobre.

2Q2 CORKKSPONDANCE d'HEUMITK ET DB STIELTJES.

de s, el / donne, à cause de/ : - - o,

( )n en I ire

->f , //',, , , /-a/ //'"2-+-//ff/,v- >/ :

et l.i remarque algébrique consiste en ce que, si L'on remplace / par /". I»' coefficient de i'" se reproduit divisé par y nm. L'application au cas de

f{x) = e~x \o%nx

conduil ;i un calcul prolixe et fatiganl auquel j ai renoncé; j'ai préféré employer les coefficients indéterminés en posant

x = \ -t- U) t — <o' t- -h (.)" t3-+-. . ., ce qui donne

ou plutôt

.1 e Mos"

j = r Slos"| \/-.co( i - ;

Maintenant, j obtiens ces valeurs

, •> n ; 3to" >.//'' -f- <)//:i ; -+- il) «- ;'2 -f- CiJl ;•"' -4- •) . ; ''

2 | // ; i II ;

\ \ ant ensuite

. n = y-iTz.n - <■

en négligeant dans l'exponentielle les ternies en — > on en conclut la formule cherchée