HERMITE I STIELTJES

■ | octobre 1888.

Mon cher ami,

\ ous a\c/. parfaitement raison, j'ai commis une inadvertance en remplaçant ■>.//'-— ~ /> ; + • <>;- par (/i -\- ç) [in -+- 5£), c'est un service que vous m'avez rendu de m'avoir fait reconnaître mon erreur, et je viens vous en remercier ainsi que des applications numériques que vous avez bien voulu faire et dont je vais me servir, dans un petil article destiné au Journal de M.Jordan. \ os calculs en feront le principal intérêt, et j'espère, grâce à s < m i s. qu'on ne verra pas s;m> quelque plaisir comment la formule de Laplace donne, dans la circonstance, une approximation qu'on ne pouvait vraimenl pas attendre. Conformément à vos intentions, j'ai fait part à M. Bourguel de voire désir de lui communiquer les calculs que vous vous proposez d'entreprendre pour la revision des dernières décimales des coefficients B/i3 afin qu'il les compare à ses opérations, ce qui donnera le meilleur moyen de remonter à la source des minimes erreurs de ses Tables.

Lundi dernier, M. Bertrand m'a communiqué une lettre de M. Bosscha, qui a eu également la bonté de m'écrire, au sujet de l'envoi du premier volume des Œuvres de Christian Huygens. .le nai point à regretter, mon cher ami, d'avoir eu recours à votre bonne obligeance, et vous aurez rendu service à d'autres encore qu'à moi.

Encore un mot sur l'application à la fonction Q(#) d'une belle méthode de Laplace. Peut-être avez-vous vu, dans le Tome 90 de d'elle, une lettre de moi à M. Schwarz, où je donne une expression analvtique de celle fonction dans laquelle figure la quantité \\{x). M. Hjalmar Mellin (*), dans le Tome II des Acta, a obtenu, en suivant la même marche, une expression plus simple, à

\dte des éditeurs. — Ueber die transcendante Funrtion von Hjalmar Mellin (Acta mathematica, t. II, p. 23i).

savoir :

où l'on a

J'ai remarqué que l'analyse employée parLaplace, pour retrouver la limite supérieure de l'excentricité qui assure la convergence de la série déduite de l'équation de Kepler

u = nt ■+■ e sin u,

s'applique très facilement à la suite R(#) et donne un résultai simple; je me propose de vous en écrire aussitôt que j'en aurai fini avec les irente compositions de baccalauréat dont j'ai aujourd'hui la charge.

Votre bien dévoué.

Pensez-vous poursuivre l'étude de la nouvelle transcendante

En revenant à cH\, ou plutôt à l'intégrale

e-x log«a; d.r,

je ne puis m'empêcher de vous confier tout le chagrin que me cause la substitution e~x= t; elle donne pour transformée

1 '«ft,

où la quantité sous le signe somme croît de zéro à l'infini, sans maximum ni minimum. Que devient donc la méthode de Laplace? De même encore, dans un cas plus simple

(«) = f log-«(lW

l68 CORRESPONDANCE d'hëRMITE ET l>K. STIELTJES.

je oe puis absolument comprendre commenl celle méthode se trouve à la merci d'une substitution; en même temps, je me demande s'il esl possible, par une substitution, de changer I intégrale

f F(a \dx,

où ta fonction F(.r) est croissante de a à b, en une autre où la oouvelle fonction aurait un maximum entre les limites?