II ERMITE A STIELTJES

Paris, mercredi (29 octobre 1888) (').

Mon cheb \\n.

S' m réfléchi qu'il n'y a pas lieu de penser à vérifier par une

Vote des éditeurs. — ('.clic lettre n'esl pas datée; le jour où elle a été écrite el le sujet paraissent en indiquer sûrement la date et la fixer au ay octobre 1888

LETTRE 141. 26g

application numérique le résultai < j 1 1 î m'a assez surpris <| u«- la valeur asympto tique de R(«) coïncide avec celle de \. ■>.... x; on ne peut, en effet, espérer obtenir un accord pour une valeur médiocrement grande de x et, en supposanl seulement x = .'<». par cvcinple, les nombres deviennent si grands que c'esl à \ renoncer. Permettez-moi de vous indiquer mon calcul en vous exprimant mon admiration pour la méthode < l< ■ Laplaec (jui esi vraiment merveilleuse. Au fond, elle ressemble à celle qu'il emploie pour les intégrales définies, il tant chercher, en effet, dans la série

dont les termes commencent par croître, le terme maximum à partir duquel ils diminuent, en posant la condition

don I on I ire

nx ( n — 1 e" ~ e"-1

= ce H 1-

Prenant n = x, ce terme maximum est

p = xx e~x ;

celui qui en est éloigné, de rang t, est ensuite

ex+t

et l'on a

log T = .1 log 1 x -r / ) — x — /,

d'où

logT — log/; =a?log( H — I — t =

et, par conséquent,

Cette valeur est la même pour le terme de rang / qui précède le maximum, de sorte que la valeur approchée de la série sera donnée par l'intégrale

*?dt = p y '-"■<' = \/>-x -. e ■' .

CORRESPONDANCE D HBRHITE ET DE STIELTJES.

Il ne me semble pas que la méthode permette d'essaj er d'obtenir une approximation plus grande; aussi, je m'en tiens à ce résultai que je vous soumets, en vous demandant si vous croyez que l'on puisse > \ confier. Je l'espère, mais en conservant quelques doutes, . i \ .1 ii t reconnu des ras dans lesquels la méthode <le Laplace, appliquée de la même manière, donne une conclusion manifestement fausse, -ans que j'aie pu voir à quoi tient que tantôt elle réussisse, tandis que, dans d'autres circonstances, elle induit en erreur.

\ oici l'un de ces cas : il suffit de chercher l'expression asympto tique du coefficienl de./-", pour/? très grand, dans la fonction de Jacobi

6 | — I =i — -i q cos2.r -t- ig* cos.j;r -4-. . . -+- ( — i )" iq'1' cosinx.

Vu contraire, le calcul marche admirablement, lorsqu'on traite

la même question à l'égard des fonctions sn et en ' > •••,

<i le résultat qu'on en tire se vérifie complètement et facilement en revenant aux expressions de ces quantités par une série infinie de fractions simples.

Je vais rédiger ma Note concernant c,:K pour M. Jordan.

lui nous renouvelant, mon cher ami, l'assurance de mes meilleurs sentiments.