STIELTJES A HERMITE

Toulouse, 3 c octobre 1888.

Cher Monsii.i r, .

Je nous suis très obligé d'avoir bien voulu adressera M. Bourguel la lettre qui lui était destinée, pourriez-vous, peut-être, si l'occasion s'en présente, me donner son adresse.

\ oici maintenant comment j'ai cherché à me rendre compte numériquement de l'approximation de votre expression

LETTRE W'I. :>.- i

Mais, pour faciliter le calcul, je n'ai pas directemenl comparé y.) à ( [i), mais d'autres expressions qui en diffèrent peu. ,1e remarque que (a) esi La valeur asymptotique «le

l'i x m / ir e " du

tu de

/ w c " du.

La différence T(x-+-\) — Q(x-\-\) csi inférieure à — > ce

qui est tout à fait insignifiant ici.

D'autre part, je trouve un peu plus commode d'ajouter à la

série ((3) le premier terme — = - = a = 0,3678 79 ii- • ••

Il s'agit donc de comparer

\\(.r\ = ti- 2-r. a--1;- 3X. a3 -h \'.<i '•-... à

Ql x -■■-{)= ! 11' <' " du.

ou, en posant f(u) = uxe~",

« 1 Je pose successivemeni

cl, à laide de

j'obtiens

CORRESPONDANCE D 11ERMITK II Dl ST1ELTJES.

D'autre pari . on a

\\ ', 1 (a 26a2-+ 66a3H 26a*-t- as):(i — a

1; 6) = (a -f- ô 7 <-/ - -r- 3<> > <7:i— 3oaa*-f- j-a* — o6 cm — a)7,

l; fr)=a— [Ri /. — 1 1] oa

r\ idemment.

,1 ip|jticn> ainsi

1; 1 1 i:Qi ■>.) = 1. ''.i ;.

Ri 2 i:Q(3) = i,o83i, R(3):Q(4)= 1,020 j, R(4):Q(5) = i,oo38, Ri ". i:Qi 6 1 i, 0005-6, Ri 6):Q(7) = 1,00007g '

J'ai remarqué que. en posant a = — 1 dans les expressi*

( ' ) La convergence si extrêmemenl rapide vers zéro de l'.'i)-Q(a)

Ri i)-Q(4)

o,oo38,

l; -,,Q(6) R(6)-Q(7) nn

donne lieu à considérer plutôt la différence

\\{x)-Q{x En multipliant par Q(2), Q(3), .... qui sont approximativement égaux

de R(i), R(a) on a

Bi = -1 B.. == , ? I>, — ,- » ••> étant les nombres de Bernoulli. J'aurais plusieurs remarques à faire sur vos dernières lettres,

R(2) — Q(3) 0,166... < R(3) — Q(4) = o,ia3... x R(4) — Q(5) = 0,095... x R(5) -Q(6) = 0,069... x R((i) — Q(?) =0,057... x

où, par exemple,

const.

Il semble donc que R(^) — Q(.r + i) décroit à peu près comme -! Une

donc que R(.r) — Q(,r + i)

belle formule à trouver qui explique cela.

const D'autre part, T(x + 1) — Q(.r -t- 1) étant aussi de l'ordre — — > il semble plus

naturel de considérer R(.r) — V(x + i)

R(i) — T(2) = — 0,07., 3, R(2)-T(3) =-0,0077, R(3) -T(4) = + o,oo65, R(4)— T(5) = + o,oo33, R(5)-T(6)= ?

Sans continuer ce calcul qu'il faudrait reprendre avec plus de soin, il semble (jue les fonctions

et r(jj-i-i) croissant avec une extrême rapidité sont telles que leur différence décroit ou reste très petite.

Je ne peu\ m'empèclier de rappeler ici ce résultat déduit de la théorie des

mais je préfère réfléchir encore un peu. peut-être que je trouve alors quelque chose de plus intéressant. Avez-vous considéré déjà la question des zéros «le la fonction entière Q(#)?

Je M'iis renouvelle, Monsieur, L'expression de mes sentiments bien dévoués el respectueux.